Zeigen Sie das AB und A+B nilpotent sind.

Question

Aufgabe: Es seien A, B ∈ M (n;K) nilpotente Matrizen. Eine Matrix A heißt dabei nilpotent, wenn es k∈ N gibt mit A^k=0) Zeigen Sie: Wenn A und B vertauschen, d. h. wenn gilt

AB=BA

dann sind auch AB und A+B nilpotent.

Problem/Ansatz:

Hallo ich hab bisher folgendes gemacht.

Zu zeigen ist, dass (AB) nilpotent ist.

A^k d. h. ∃k∈ N so dass A^k=0 definiert k^*

B^l  d. h.  ∃l∈ N so dass B^l= 0 definiert l^*

wähle m:= maximum  {k^*,l^*}

Daraus folgt:

(AB)m= (AB)*(AB)*.....*(AB) da kommunität besteht, gilt: (A*A*...*A)*(B*B...*B).

Da A und B jeweils m- mal multipliziert sind werden A und B jeweils 0 darauf folgt.

0*0=0

q.e.d

Ich hoffe, dass dieser Beweis schlüssig und auch formal richtig ist.

Mein Problem macht mit A+B. Ich vermute ich muss das irgendwie mit (A+B)ⁿ irgendwie lösen allerding steh ich da auf dem Schlauch.

Falls der erste Beweis falsch sein sollte oder formale schwächen hat bin cih selbst verständlich über jede Hilfe dankbar.

freundliche Grüße

Answer 1

Ich hoffe, dass dieser Beweis schlüssig und auch formal richtig ist.

Ist schon okay.

Mein Problem macht mit A+B. Ich vermute ich muss das irgendwie mit (A+B)^n irgendwie lösen allerding steh ich da auf dem Schlauch.

Tipp: binomischer Lehrsatz. Sind \( A,B \) Elemente eines Rings und ist \( AB = BA \), dann gilt

$$ (A+B)^n = A^n + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} A^{n-k} B^{k} + B^n $$

für natürliche Zahlen n. Das musst du, falls noch nicht geschehen, schnell beweisen und anschließend das n so wählen, dass alle Summanden =0 sind.

Comments

Alles klar also muss ich da nur diesen bonimischen Lehrsatz beweisen für diesen Teil der Aufgabe. Hab ich so noch nicht gesehen aber ich setz mich mal ran

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bonimischen

binomischen

Hab ich so noch nicht gesehen

Aber bestimmt den folgenden Spezialfall:

$$ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} xy + y^2 $$

Der Satz ist sozusagen eine Erweiterung der ersten binomischen Formel.

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Ah versteh danke dir