Beweis Mengen, kartesisches Produkt

Question

Aufgabe:

Seien A,B,C,D beliebige Mengen. Beweisen Sie.

(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)

Answer 1

(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)

Bew.:

            (x,y) ∈ (A×B)∩(C×D)

<=>    (x,y) ∈  A×B ∧  (x,y) ∈ C×D

<=>  (  (x ∈  A )  ∧  (y ∈B)  ) ∧    (  (x ∈  C )  ∧  (y ∈D)  )

<=>  (  (x ∈  A ) ∧    (x ∈  C ) ) ∧  (  (y ∈B)  )   ∧  (y ∈D)  )

<=>    (x ∈  A ∩ C )  ∧   ( y∈  B ∩ D )

<=>   (x,y) ∈ (A∩C)×(B∩D).

q.e.d.