Extremstellen, lokale Maxima/Minima

Question

Hallo

Man zeige, dass die Funktion \( e^{3·x} \) *log(x)
auf (0,∞) genau ein lokales Maximum xmax und genau ein lokales Minimum xmin
besitzt. Berechnen Sie das Vorzeichen von f(xmin) und f(xmax).

Wie muss ich hier voran gehen nachdem ich abgeleitet habe ? Mit was muss ich hier am besten arbeiten ?

Wäre echt dankbar für eine Lösung bzw. für wichtige Hinweise

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log ( x ) Zehnerlogarithmus
oder
ln ( x )  natürlicher Logarithmus

???

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Natürlicher Logarithmus

Answer 1

f(x)=e^3⋅x ·log(x)

Ableiten mit der Produktregel. Dann Nullstellen der 1.Abl. in 2.Abl. einsetzen und Minimax-Entscheidung treffen. Dann x_min und x_max in Funktionsglechung einsetzen um f(x_min) und f(x_max) zu berechnen.

Comments

Das Problem ist, wir haben in der Vorlesung noch nicht die 2.Ableitung definiert. Das heißt ich kann das leider  nicht verwenden :(

Und ich muss nur zeigen dass es überhaupt Maxima und Minima existieren

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Dann untersucht man die Nullstellen der 1.Abl. auf Vorzeichenwechsel der Funktionswerte in der Nähe. Wechsel von + nach - bedeutet Maximum. Wechsel von - nach + bedeutet Minimum.

Answer 2

u = e^(3*x)
u´ = e^(3*x) * 3
v = ln(x)
v´ = 1/x

( u * v ) ´ =
e^(3*x)*3 * ln(x) + e^(3*x) * 1/x
e^(3*x) * ( 3 * ln(x) + 1/x )
e^(3*x) * ( 3 * ln(x) + 1/x ) = 0
Satz vom Nullprodukt
3 * ln(x) + 1/x = 0

Es gibt zwei Lösungen ( ungefähr )
( z.B. über Newton )
x =0.22
und
x = 0.54

Wie man auf einfachere Weise die
Extrempunkte herankommt weiß ich
leider nicht.