Da das Elemente von R^2 sind, stellst du dir die am besten so vor:
x=\begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix}y=\begin{pmatrix} y1\\y2 \end{pmatrix}z=\begin{pmatrix} z1\\z2 \end{pmatrix}
Die Determinante ist dann ja
det(x,y)= x1*y2-y1*x2 und das mal z gibt
$$\begin{pmatrix} (x1*y2-y1*x2)*z1\\(x1*y2-y1*x2)*z2 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} x1*y2*z1\\x1*y2*z2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} y1*x2*z1\\y1*x2*z2 \end{pmatrix}$$
Und rechts vom Gleicheitszeichen musst du es eben auch
ausrechnen. Aber was soll x^⊥ sein? Vielleicht
$$ x^⊥=\begin{pmatrix} -x2\\x1 \end{pmatrix} $$
