Gleichung der Tangente bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion: f(x)=(0,5x + 3)^2

a)Gleichung der Tangente im Punkt P(-4|f(4)( bestimmen.

b) Den Punkt bestimmen an dem die Tangente an den Graphen von f die Steigung o hat.
Problem/Ansatz:

a) Wahrscheinlich muss ich erstmal die Funktionsgleichung ableiten. Aber ich hab keine Ahnung wie es dann weitergeht

b) Vielleicht die Tangente, die ich in a) bestimmen sollte gleich 0 setzen und nach x auflösen?

Answer 1

a)

f(x) = (0.5x + 3)^2 = 1/4x^2 + 3x + 9

f'(x) = 1/2x + 3

f'(-4) = 1/2 *(-4) + 3 = 1

f(-4) = 1/4 *(-4)^2 + 3*(-4) + 9 = 1

Die Funktion f hat im Punkt P(-4/1) die Steigung 1

Das kannst du in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um den Achsenabschnitt der Tangente zu berechnen und folglich die Tangentengleichung:

y = mx + b

1 = 1 * (-4) + b

b = 5

Tangentengleichung:

y = x + 5

b)

Vielleicht die Tangente, die ich in a) bestimmen sollte gleich 0 setzen und nach x auflösen?

Falls dein Gedanke dabei ist, dann einen Punkt zu finden wo eben diese Tangente die Steigung 0 hat, so macht das keinen Sinn, weil diese Tangente immer die Steigung 1 hat.

Sinnvoller ist es, die 1. Ableitung der Funktion, also f'(x) = 1/2x + 3 Nullzusetzen, da die Funktion an den Stellen die Steigung 0 hat.

1/2x + 3 = 0

x = -6

Y-Wer berechnen:

f(-6) = 0

Die Tangente vom Graphen von f hat im Punkt Q(-6/0) die Steigung 0.

Answer 2

f(x) = (0.5·x + 3)^2
f'(x) = 0.5·2·(0.5·x + 3) = 0.5·x + 3

a) Gleichung der Tangente im Punkt P(-4 | f(-4)) bestimmen.

Tangente an der Stelle a = -4
f(a) = f(-4) = (0.5·(-4) + 3)^2 = 1
f'(a) = f'(-4) = 0.5·(-4) + 3 = 1

Allgemeine Tangentengleichung
t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)
t(x) = 1·(x - (-4)) + 1 = x + 5

b) Den Punkt bestimmen an dem die Tangente an den Graphen von f die Steigung 0 hat.

Scheitelpunkt von f(x) = (0.5·x + 3)^2 kann mit S(-6 | 0) direkt abgelesen werden.