1) ==> 2) geht so:
Sei (U,*,e) eine Untergruppe von (G,*,e).
Also ist U selber auch eine Gruppe.
Dann ist U nicht leer, weil jede Gruppe ein neutrales El. enthält.
also e∈U.
Sind nun a,b ∈U dann ist auch b^(-1) ∈ U, da U zu jedem seiner Elemente
auch das inverse enthält.
Außerdem ist U abgeschlossen. enthält mit a und b^(-1) also
auch das Verknüpfungsergebnis der beiden.
UMGEKEHRT: Sei U eine Teilmenge von G, die nicht leer ist
und ∀a,b ∈ U : a ∗ b^(-1) ∈ U.
Da U nicht leer ist, gibt es ein x ∈ U. Und für a=x und b=x gilt
a ∗ b^(-1) = x * x^(-1) = e ∈ U. Also gilt jedenfalls e ∈ U. #
Assoziativität gilt für alle Elemente von G, also auch für alle
in der Teilmenge.
Sei nun x ∈ U. wegen # gilt mit a=e und b=x dann ja
U ∋ a ∗ b^(-1) = e * x^(-1) = x^(-1) .
Also enthält U zu jedem seiner Elemente das inverse.
Fehlt noch: Abgeschlossenheit.
Seien also x,y ∈ U. Dann ist (s.o.) auch y^(-1) ∈ U.
Und mit a=x und b=y^(-1) gilt
U ∋ a ∗ b^(-1) = x * (y^(-1)) ^(-1) = x * y .
Also ist U auch abgeschlossen.
