Beweis des Untergruppenkriteriums (Äquivalenzbeweis)

Question

Habe irgendwie den Faden bei Gruppen und Untergruppen verloren. Wie genau lautet der Beweis für dieses Untergruppenkriterium?

Aufgabe:
Beweise folgendes Untergruppenkriterium:
Sei (G,*,e) eine Gruppe und U eine Teilmenge von G. Folglich sind äquivalent:

1) (U,*,e) ist eine Untergruppe von (G,*,e)
2) U ist nichtleer und ∀a,b ∈ U : a ∗ b^-1 ∈ U

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Mir ist schon bewusst das die Äquivalenz bewiesen werden muss also das auf das eine das andere jeweils folgt, allerdings tue ich mich schwer einen Satz wie diesen zu beweisen. Vielen dank im Voraus.

Comments

Was ist denn laut deiner Definition eine Untergruppe?

Answer 1

1) ==> 2) geht so:

Sei (U,*,e) eine Untergruppe von (G,*,e).

Also ist U selber auch eine Gruppe.

Dann ist U nicht leer, weil jede Gruppe ein neutrales El. enthält.

also e∈U.

Sind nun a,b ∈U dann ist auch b^(-1) ∈ U, da U zu jedem seiner Elemente

auch das inverse enthält.

Außerdem ist U abgeschlossen. enthält mit a und b^(-1) also

auch das Verknüpfungsergebnis der beiden.

UMGEKEHRT:  Sei U eine Teilmenge von G, die nicht leer ist

und  ∀a,b ∈ U : a ∗ b^(-1) ∈ U.

Da U nicht leer ist, gibt es ein x ∈ U.  Und für a=x und b=x gilt

 a ∗ b^(-1)  = x * x^(-1) = e    ∈ U.  Also gilt jedenfalls e ∈ U.  #

Assoziativität gilt für alle Elemente von G, also auch für alle

in der Teilmenge.

Sei nun x ∈ U.  wegen # gilt mit a=e und b=x dann ja

U ∋  a ∗ b^(-1)  = e * x^(-1) = x^(-1) .

Also enthält U zu jedem seiner Elemente das inverse.

Fehlt noch: Abgeschlossenheit.

Seien also x,y   ∈ U.  Dann ist (s.o.) auch y^(-1)  ∈ U.

Und mit a=x und b=y^(-1) gilt

U ∋  a ∗ b^(-1)  = x * (y^(-1)) ^(-1) = x * y .

Also ist U auch abgeschlossen.

Comments

Nochmals vielen dank für die Mühe! Sehr gute und verständliche Schritte!

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Sei (U,*,e) eine Untergruppe von (G,*,e).

Nachweis fehlt.