Aufgabe:
In einem Naturschutzgebiet gibt es Teile, die mit Wiese, Gestrumpf und Sumpf bedeckt sind. Jährlich geht ein Teil des Wiesenlandes in Gestrüpp über, Sumpf wird zur Wiese usw. Die Tabelle zeigt die jährlichen Übergangswahrscheinlichkeiten.
Matrix:
von W G S
nach W 0,7 0,2 0,2
G 0,2 0,8 0,0
S 0,1 0,0 0,8
Problem:
Im folgenden die Aufgabenstellungen bzw. meine Ansätze. Bei Aufgabe a bitte nur ein mal schauen, ob das so passt. Dann brauche ich Hilfe bei Aufgabe d (dafür auch einmal Aufgabenstellung "b" schauen).
a) Begründen Sie: Die Übergangsmatrix M ist eine stochastische Matrix.
Da habe ich jetzt:
Die Elemente der Matrix liegen zwischen Null und Eins und die Spaltensummen betragen Eins. Somit ist die Übergangsmatrix M eine quadratische bzw. stochastische Matrix.
Passt das so?
b) Die Startanteile lauten W:60%,G30%,S:10% [...] → wichtig für Aufgabe d.
d) Durch Mähen der Wiesen wird der Übergang zu Gestrüpp auf 10% verringert.
Durch Bewässerungsmaßnahmen wird das Umwandeln des Sumpfes in Wiese ebenfalls auf 10% verringert.
Wie entwickelt sich das Gebiet nun nach fünf bzw. nach zehn Jahren bzw. langfristig?
Interpretieren Sie das Ergebnis anschaulich.
Hier habe ich nun die Übergänge zu folgender Matrix verändert:
von W G S
nach W 0,8 0,2 01
G 0,1 0,8 0,0
S 0,1 0,0 0,9
(die alte im Vergleich:
von W G S
nach W 0,7 0,2 0,2
G 0,2 0,8 0,0
S 0,1 0,0 0,8 )
Jetzt muss ich ja die "neue" Matrix mal die Startanteile nehmen, richtig?
Und dann für Jahr 3, die Matrix mal die Anteile von Jahr 2 rechnen etc.
Aber statt das ganze jetzt zehn Mal zu machen, kann ich da auch etwas exponentiell berechnen?
Ich danke im Voraus :)
