Doppeltes Summenzeichen umformen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathegemeinde.

Ich habe leider keine Ahnung nach welchen Gesetzmäßigkeiten diese Summenformel auseinandergezogen wurde und wie ich das auf ähnlich Aufgaben übertragen kann.

Warum kann man in der zweiten Zeile einfach sagen, dass aus (j-i) ein r wird, nur weil man n-i gesetzt hat?

Und wie kommt man dann in der dritten Zeile auf das (1/2(i(i+1))?

In der vierten Zeile wird ja das 1/2 einfach per Distributivgesetz rausgezogen und das i*i durch i² und das i+1 durch die Summenformel ersetzt. Das verstehe ich soweit, denke ich.

Die letzten beiden Zeilen sind mir sehr schleierhaft.

Wenn ihr mir das irgendwie näher bringen könntet wäre ich euch zutiefst aus meiner wissensdurstigen Seele dankbar.

Vielen Dank für eure Mühe die Welt mit Wissen zu bereichern.

Frohe Ostern!

Answer 1

Gibt es eine Fragestellung? Das hier scheint nur ein Teil eines Beweises von irgendetwas zu sein

Ansonsten erst mal zum roten Teil.

Offenbar kennst du die Summenformel für Quadratzahlen (rot verwendet) und für natürliche Zahlen (gleich daneben) bereits. Danach ist das nur noch Bruchrechnen.

Comments

Die Fragestellung ist in diesem Falle nicht so relevant, da wir Probleme mit dem Verständnis der Umformungen haben.

Die Formel liegt der Laufzeitberechnung eines Algorithmus zu Grunde.

Wir verstehen bereits die Umformung der ersten Zeile nicht....

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Du hast dort unter dem 2. Summenzeichen

j = i + 1        | -i

j - i = 1

D.h. j-i beginnt bei 1, wird r genannt und endet bei [wissen wir noch nicht].

über dem 2. Summenzeichen hat du j = n.

Dann ist die neuer Laufvariable r=  j-i automatisch n-i .

Daher geht r von 1 bis n-i.

Der nächste Schritt (schwarz zu grün) nutzt aus, dass die inneren Summen in schwarz immer kürzer, in grün aber immer länger werden. Im Ganzen sind aus Symmetriegründen aber immer noch gleich viele und die gleichen Summanden vorhanden, wenn man die inneren Summen wie in grün anders anordnet.