Fixvektor bzw. langfristige Verteilung bestimmen?

Question

In der landwirtschaftlichen Versuchsanstalt Eichenhof werden auf einem Feld rote, gelbe und blaue Blumen gezüchtet (R, G, B), die eine erstaunliche Eigenschaft haben. Sie können bei jedem Generationswechsel ihre Farbe wechseln. Eine Auszählung ergibt, dass der Farbwechsel nach der abgebildeten Tabelle erfolgt.

	R	G	B
R	0,5	0,2	0,3
G	0,2	0,6	0,3
B	0,3	0,2	0,4

Aufgabe c) Welche Verteilung der Farben R, G, B stellt sich langfristig ein?

Problem:

Ich habe versucht den Fixvektor mit lgs zu berechnen, jedoch scheint das Ergebnis nicht richtig zu sein.

Damit ich das richtig verstehe und nachvollziehe, wäre es super jemand kann mir das ein mal "vorrechnen".

Dafür wäre ich sehr dankbar :)

PS: ...Ja, zu dieser Aufgabe gibt es schon eine Fragestellung. Aufgabe c wurde dabei jedoch noch nicht beantwortet.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Aufgabe "Fixvektor bzw. langfristige Verteilung bestimmen"

Stichworte: fixvektor,übergangsmatrix

In der landwirtschaftlichen Versuchsanstalt Eichenhof werden auf einem Feld rote, gelbe und blaue Blumen gezüchtet (R, G, B), die eine erstaunliche Eigenschaft haben. Sie können bei jedem Generationswechsel ihre Farbe wechseln. Eine Auszählung ergibt, dass der Farbwechsel nach der abgebildeten Tabelle erfolgt.

	R	G	B
R	0,5	0,2	0,3
G	0,2	0,6	0,3
B	0,3	0,2	0,4

Aufgabe c) Welche Verteilung der Farben R, G, B stellt sich langfristig ein?

Problem:

Ich habe versucht den Fixvektor mit lgs zu berechnen, jedoch scheint das Ergebnis nicht richtig zu sein.

Damit ich das richtig verstehe und nachvollziehe, wäre es super jemand kann mir das ein mal "vorrechnen".

Dafür wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

Für eine stabile Grenzverteilung gilt

M * v = v
Spaltensumme von v ist 1

Stelle damit das Gleichungssystem auf was gelten muss und löse es:

0.5·x + 0.2·y + 0.3·z = x
0.2·x + 0.6·y + 0.3·z = y
0.3·x + 0.2·y + 0.4·z = z
x + y + z = 1

Wenn du das jetzt löst solltest du auf folgende Lösung kommen: x = 18/55 ∧ y = 21/55 ∧ z = 16/55

Damit ist [18/55; 21/55; 16/55] = [0.3273; 0.3818; 0.2909] ein Fixvektor.

Comments

Ich habe leider falsche Ergebnisse raus. Vielleicht mache ich irgendwas ganz falsch bei der Rechnung? Ich hänge mal meine aktuelle Rechnung an...

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Was hast du an dieser Stelle gemacht? Die Beziehung zwischen y und z stimmt nicht.

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Du solltest dir mal das Additionsverfahren aneignen. Das ist um Längen einfacher als das Einsetzungsverfahren.

0.5·x + 0.2·y + 0.3·z = x
0.2·x + 0.6·y + 0.3·z = y
0.3·x + 0.2·y + 0.4·z = z
x + y + z = 1

I - x ; II - y ; III - z

-0.5·x + 0.2·y + 0.3·z = 0
0.2·x - 0.4·y + 0.3·z = 0
0.3·x + 0.2·y - 0.6·z = 0
x + y + z = 1

5*II + 2*I ; 5*III + 3*I ; IV + 2*I

- 1.6·y + 2.1·z = 0
1.6·y - 2.1·z = 0
1.4·y + 1.6·z = 1

II kann gestrichen werden ; 8*III + 7*I

27.5·z = 8 --> z = 16/55

Nun noch rückwärts einsetzen und auflösen.

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Das mit dem Additionsverfahren nehme ich mir zu herzen... bin gerade dabei.