Wie sehen Umkehrfunktionen richtig aus?

Question

Aufgabe:

f: R+ -> R+, x --> x^3

R^2 -> R^2,(x,y) -->(4y-1, 5x)

Problem/Ansatz:

Ich habe ein nerviges Problem mit Umkehrfunktionen, und zwar weiß ich nicht wie sie korrekt aussehen, überall sehe ich sie ein wenig anders. Bei der ersten Aufgabe forme ich erstmal x^3 in x^(1/3). Was mach ich dann? Muss ich die Variablen tauschen? Also so -> y^(1/3)? Muss ich das zwingend machen? Falls ja wie sieht dann das Endergebnis aus? f(x)^-1 = y^(1/3) oder f(y)^-1 = y^(1/3)

Danke

Answer 1

1. Funktion:

f = x^3

nach x auflösen

x = f^1/3

Die Umkehrfunktion lautet g(x) = x^1/3, man schreibt das als g(x) = f^-1(x) = x^1/3

2. Funktion (diesmal Gleichungssystem mit 2 Variablen)

f1 = 4y - 1

f2 = 5x

Nach x und y auflösen

x  = f2/5

y = (f1+1)/4

Die Umkehrfunktion lautet g(x,y) → y/5, (x+1)/4, man schreibt das als g(x,y) = f^-1(x,y)

Comments

Hmm bin jetzt etwas verwirrt, im oberen Beispiel werden die Variablen vertauscht unten aber nicht, wieso ?

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Die Variablen, genauer gesagt der Funktionswert f(x) und das Funktionsargument x werden in beiden Beispielen vertauscht.

Im ersten Fall steht f für das Ergebnis von f(x), oft findet man in den Aufgaben stattdessen auch ein y.

Im zweiten Fall steht f1 für das Ergebnis von f(x,y) in der x-Komponente, das f2 für das Ergebnis von f(x,y) in der y-Komponente. Das erste Beispiel wurde lediglich auf 2 Dimensionen [f1,f2]  erweitert.

Stattdessen könnte man wie oft üblich y1 und y2 schreiben. Ich halte das im Falle von zwei Dimensionen für verwirrend, weil y1 die x-Komponente und y2 die y-Komponente betrifft.

Answer 2

Erst mal voraussichtlichen Definitions- und Wertebereich von f^(-1) angeben. D.h. Gegebenes vertauschen.

f: R+ -> R+, x → x^3

f^(-1): R+ -> R+, 

Auch die zweite Funktion braucht einen Namen. 
g: R^2 -> R^2,(x,y) -->(4y-1, 5x)

g^(-1): R^2 -> R^2, 

Nun noch die Funktionsvorschriften.

f(x) = y = x^3 | auflösen nach x

y ^(1/3) = x    | x und y vertauschen

x^(1/3) = y

Somit

f: R+ -> R+, x → x^3
f^(-1): R+ -> R+, x -> x^(1/3) 

Skizze so:

~plot~ x^3;x^(1/3);x;[[-0.1|7|-0.1|4]] ~plot~

Im 3. Quadranten sollte nichts gezeichnet werden. Alle Punkte nur im 1. Quadranten gemäss deiner Fragestellung. D = W = R+