Question

Sei c²+s²=1 und A die Spiegelung an der Geraden R*(c,s).

a) Sei b1=(c,s) und b2=(-s,c). Zeigen Sie, dass B=(b1,b2) eine Basis des R² ist.

b) Bestimmen Sie A bezüglich der Basen B.

c) Bestimmen Sie die Matrix von A.

Comments

MLU Halle (Saale)?

Answer 1

a)

Wären \(b_1,b_2\) linear abhängig, dann gäbe es \(\lambda\in R^*\) mit (o.B.d.A.)
\(b_2=\lambda\cdot b_1\), also \(-s=\lambda c, \; c=\lambda s\).
Hieraus folgt:$$1=c^2+s^2=\lambda^2c^2+\lambda^2s^2=\lambda^2(c^2+s^2)=\lambda^2$$also \(\lambda=\pm 1\)
Aus \(\lambda=-1\) würde folgen: \(c=-s=-c\), also \(c=s=0\),
Widerspruch zu \(c^2+s^2=1\). Auf gleiche Weise führt \(\lambda=1\)
zu einem Widerspruch.

b) \(A(b_1)=b_1, \; A(b_2)=-b_2\)

c) Daher ist $$M_B^B(A)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)$$