Matrix Invertierbarkeit Beweis (Matrixmultiplikation)

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{c}{\text { Zeigen Sie: }} \\ {\text { sind } \mathbf{A}_{1} \text { und } \mathbf{A}_{2} \text { invertierbare }(n, n) \text { -Matrizen, so ist auch } \mathbf{A}_{1} \cdot \mathbf{A}_{2} \text { invertierbar und es gilt: }} \\ {\left(\mathbf{A}_{1} \cdot \mathbf{A}_{2}\right)^{-1}=\mathbf{A}_{2}^{-1} \cdot \mathbf{A}_{1}^{-1}}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Kann mir wer eine Beweis zu der Aufgabe zeigen ?

Answer 1

Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt das Assoziativgesetz, dh.: (A*B)*C=A*(B*C*) = A*B*C

Also gilt:

E =A*A^-1=A*E*A^-1= A*(B*B^-1)*A^-1=(AB)*B^-1*A^-1 

also ist AB invertierbar und es gilt:

=>(AB)^-1=B^-1*A^-1