Eigenwerte von linearen Abbildungen. f=∑a_{i}x^{i}, dann definieren wir f(φ)=∑a_{i}φ^{i}.

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ∈EndK(V).
Ist f∈K[x] ein Polynom mit f=∑aixi, dann definieren wir f(φ)=∑aiφi.
Sei λ ein Eigenwert von φ. Zeigen Sie, daß dann f(λ) ein Eigenwert von f(φ) ist.

Problem/Ansatz:

ich habe keine ideen ,wie ich die aufgabe lösen kann

Wird wohl so sein:

f=∑a_{i}x^{i}, dann definieren wir f(φ)=∑a_{i}φ^{i}.
und φ^{i} ist die i-fache Verkettung von φ mit sich selbst

und φ^0 = id.

Comments

mit f=∑aixi, dann definieren wir f(φ)=∑aiφi.

Das sollen ja bestimmt Indizes oder Potenzen sein. a_i ist tief gestellt, x^i soll eine Potenz sein? Wie sieht es bei phi_i aus?

Answer 1

Wird wohl so sein:

f=∑a_ixⁱ, dann definieren wir f(φ)=∑a_iφⁱ.
und φⁱ ist die i-fache Verkettung von φ mit sich selbst

und φ⁰ = id.

Dann geht es wohl so:

Sei λ ein Eigenwert von φ.

==>  Es gibt ein v ∈ V \ {0} mit f(v)= λ*v

Bei i-facher  Verkettung von φ mit sich selbst

hat man dann   φⁱ(v) = λⁱ *v.    #

Denn etwa φ²(v) = φ(φ(v))

   = φ(λ*v) weil λ ein Eigenwert von φ

  =  λ* φ(v)  weil φ linear

  =  λ* λ* v  weil λ ein Eigenwert von φ

=  λ^2 * v

(allgemein für i dann mit Induktion.)

Damit hat man für das gleiche v wie oben:

f(φ) (v)

= ∑a_i φⁱ(v)  und wegen # also

=  ∑a_i λⁱ *v  also kann man das v aus der Summe ziehen

=  (∑a_i λⁱ )*v   = f(λ) * v 

also ist f(λ) ein Eigenwert von f(φ) .