Identische Abbildungen. Ist dann auch f o g : N -> N die identische Abbildung auf N?

Question

Aufgabe:

Seien f : M -> N und g : N -> M Abbildungen mit der Eigenschaft, dass g o f : M -> M die identische Abbildung auf M ist. Ist dann auch f o g : N -> N die identische Abbildung auf N ?

Problem/Ansatz:

Die Lösung mit Beispiel: Nein, denn f : ℝ⁺ -> ℝ, x |-> x und g : ℝ -> ℝ⁺ , x |-> | x |

Es ist g o f die identische Abbildung, f o g bildet x auf | x | ab.

Kann mir jemand erklären, wie das genau gemeint ist bzw. wieso es nicht die identische Abbildung auf N ist? Ich war der Meinung, dass die Behauptung wahr ist.

Answer 1

f o g bildet x auf | x | ab.

soll ja heißen:  f o g ist NICHT die identische Abb.

Dem ist auch so; denn z.B. ganz konkret

(fog)(-1) = f(g(-1)) = f(1) = 1

also gilt hier NICHT (fog)(x)=x

denn -1 ist nicht gleich 1.

Comments

Wieso ist f(g(-1)) denn f(1) ?

---

Die Funktion g(x) ist laut Aufgabe g(x)=|x|.

Und g(-1)=|-1| ist nun mal 1.

---

aber wie liest du das aus der Aufgabe heraus? Das steht doch erst in der Lösung mit Beispiel

---

Ja, ich dachte es ging um das Verständnis der Lösung.

Das Finden eines solchen Gegenbeispiels geht wohl nur über

ein wenig probieren.

---

Was ich einfach nicht begreife ist, wieso ich nicht g und f einfach vertauschen kann somit würde N -> M und anschließend M -> N und somit doch eigentlich N -> N ergo identische Abbildung ich versteh nicht wo da der Knackpunkt ist, oder der Unterschied zu M -> N und dann N -> M = identische Abbildung auf M

---

Das liegt wohl letztlich daran, dass bei der Abbildung f

alles so abgebildet wird, dass nie zwei Werte auf das

gleiche Bild abgebildet werden, sie ist Injektiv

g ist das aber nicht , da werden eben +1 und -1 beide

auf +1 abgebildet.

In der Reihenfolge  gof macht das nichts, da die Bilder

bei f nie negativ sind. Wenn man die also weiter abbildet,

wird sich das nicht-Injektive nicht aus.

In der Reihenfolge fog ist es aber so, dass schon durch

g zwei verschiedene auf das gleiche Element abgebildet

werden.

---

Ist schon richtig, aber die Lösung ist ja auch nur ein Beispiel von vielen,

ich könnte ja ℝ und ℝ⁺ einfach mal umdrehen, dann gäbe es ja schon eine identische Abbildung auf N

Also wie folgt :

f : ℝ -> ℝ⁺, x |-> | x | und g : ℝ⁺ -> ℝ , x |->  x

Edit : Naja gut.. in dem Fall wäre ja die zweite Menge immer noch keine identische Abbildung, die Frage der Aufgabe war ja ob beide dann jeweils identische Abbildungen sind denk ich mal die hab ich einfach falsch verstanden, denke ich habs jetzt verstanden danke :)

---

Was mich noch interessieren würde, was würde denn passieren wenn ich sage

f : ℝ^- -> ℝ⁺, x |-> | x | und g : ℝ⁺ -> ℝ^- , x |->  x

wäre dann nicht g o f sowie auch f o g beides identische Abbildungen?

Answer 2

Das Gegenbeispiel hast du doch schon gefunden. Was genau ist jetzt noch deine Frage?

Comments

Kann mir jemand erklären, wie das genau gemeint ist bzw. wieso es nicht die identische Abbildung auf N ist? Ich war der Meinung, dass die Behauptung wahr ist.