Häufungspunkte einer komplexen Folge bestimmen

Question

Hey ;-)
ich bin mir bei meinen Ansätzen für die folgende Aufgabe nicht sicher:

Aufgabe:
Bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge:

$$a(n)=\frac{2^{n}}{(-1-\sqrt{3}i)^{n}}+\frac{1}{2^{n}}$$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre jetzt gewesen, dass ich (voraussichtlich) 4 Häufungspunkte hätte aufgrund von:

$$i^{4n}=1 ; i^{4n+1}=i ;   i^{4n+2}=-1 ; i^{4n+3}=-i$$

und ich ggf. mit "1 multipliziere" wobei ich bei dem Ansatz nicht weiter komme.

Alternativ könnte ich die n-te Wurzel ziehen, bin mir jedoch nicht sicher ob das gehen würde oder komplett falsch wäre.

Mit freundlichen Grüßen
Lipsen

Answer 1

Hallo

1. deine Betrachtungen zu i helfen nichts!

2. zieh den Betrag de Nenners (2) bzw. -2 vor die  Klammer und kürze dann, bei hoch n bleibt dann der Betrag immer 1. jetzt musst du feststellen, ob sich bei (1/2+i*1/2√3)^n etwas wiederholt, dazu berechne die erste 6 Potenzen. dann kennst du die HP des ersten Ausdrucks, dann +1/2^n dazu.

Wen du weisst wie man komplexe Zahlen graphisch multipliziert, ist das potenzieren hier sehr einfach, da 1/2+i*1/2√3 auf dem Einheitskreis liegt mit 60° zur x-Achse, 1/(1/2+i*1/2√3) dann 60° unter der Achse.

Gruß lul