Welche Mengen sind Untervektorräume der Vektorräume?

Question

Aufgabe:

Welche Mengen U_i sind Untervektorräume der Vektorräume V_i ?

Begründen Sie die Entscheidung.

a) V₁ := ℝ⁵ ,                                U₁  := {p ∈ ℝ⁵ | ||p|| = 1}              ( mit ||p||=1 kann ich gerade nichts anfangen)

b) V₂ := ℝ⁴ ,                                U₂ := {(x,y,z,w) ∈ ℝ⁴ | x + y +z + w = 0, w = 0}

c) V₃ := ℝ³ ,                                U₃ := {p ∈ ℝ³ | ⟨p, (1,2,3)^t⟩ = 0}   (was bedeutet das t?)

Leider habe ich bisher keinen Ansatz zu der Aufgabe. Ich arbeite gerne mit Beispielen, die meisten im Internet zu findenden sind jedoch nicht zu gebrauchen, da es sich um sehr "einfache" Beispiele handelt. Die Definition eines Untervektorraums kenne ich.

Comments

( mit ||p||=1 kann ich gerade nichts anfangen)

||p|| ist der Betrag von p:

\(\left\Vert \left(\begin{array}{c}2\\4\\6\\8\\10\end{array}\right)\right\Vert=\sqrt{2^{2}+4^{2}+6^{2}+8^{2}+10^{2}}\)

(was bedeutet das t?)

Transponiert, also

\( (7, 22, 113, 355)^t = \begin{pmatrix} 7\\22\\113\\355 \end{pmatrix} \)

und

\( \begin{pmatrix} 2&3\\5&7\\11&13 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 2&5&11\\5&7&13 \end{pmatrix} \).

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Ah also ist es wirklich nur der Betrag. Von Transponiert habe ich davor noch nie was gehört, danke das du mich aufgeklärt hast! :)

Answer 1

a) V1 := ℝ5 ,                                U1  := {p ∈ ℝ5 | ||p|| = 1}              ( mit ||p||=1 kann ich gerade nichts anfangen)

hat der Kommentar von Oswald schon geholfen:

Es ist ||(1,0,0,0,0)||=1 und ||(0,1,0,0,0)||=1 aber die Summe hat nicht den Betrag 1,

also kein Unterraum.

b) V2 := ℝ4 ,                                U2 := {(x,y,z,w) ∈ ℝ4 | x + y +z + w = 0, w = 0}

Hier klappt es. Prüfe das Unterraumkriterium.

c) V3 := ℝ3 ,                                U3 := {p ∈ ℝ3 | ⟨p, (1,2,3)t⟩ = 0}   (was bedeutet das t?)

 ⟨p, (1,2,3)t⟩ = 0 heißt ja für p(a,b,c)^t nur  a+2b+3c = 0 .  Also ist das

auch ein Unterraum.

Comments

Ja, der Kommentar von Oswald hat mich schon mal aufgeklärt. Meinst du bei a) die Summe der Basen ergibt nicht 1 ? Also: \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) ... \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \) oder verstehe ich da gerade was falsch?

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U1 besteht aus allen Vektoren mit dem Betrag 1.

Wäre das ein Untervektorraum, dann müsste insbesondere die Summe zweier

Elemente wieder ein El. von U1 sein. Ist es aber nicht.