Aufgabe:
Man betrachte die Kurve x(t) im R2, welche die direkte Verbindungsstrecke zwischen A = (0,1) und B = (1,2) darstellt.
Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang x(t) für das Vektorfeld
\( v\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}^{2}-x_{2} \\ x_{1}+x_{2}^{2}\end{array}\right) \)
Problem/Ansatz:
Ich habe zuerst x(t) parametrisiert mit \( x(t)=\left(\begin{array}{c}t \\ t+1\end{array}\right) \)
Jetzt ist mir allerdings nicht klar, was mit dem Kurvenintegral genau gemeint sein soll. Ich habe mal angenommen, dass es sich dabei um die Bogenlänge handelt (ist das einzige Integral, was wir in diesem Kapitel in der Vorlesung hatten).
Also:
\( v(t)=\left(\begin{array}{c}t^{2}-t-1 \\ t^{2}+3 t+1\end{array}\right) \) und \( \dot{v}(t)=\left(\begin{array}{c}2 t-1 \\ 2 t+3\end{array}\right) \) und somit für die Bogenlänge:
$$L(v) = \int_{0}^{t} |\dot{v}| dt = \int_{0}^{t} \sqrt{(2t-1)^2+(2t+3)^2} dt = \int_{0}^{t} \sqrt{8t^2+8t+10} dt$$
Dieses Integral habe ich nun mit dem Integralrechner lösen lassen und das Ergebnis schaut wirklich unschön aus. Ich frage mich, ob ich einen Denkfehler oder die Aufgabenstellung falsch verstanden habe.
