Ortslinien bestimmen zu Funktionenschar f_k : x --> x^4 - kx^2

Question

Gegeben ist folgende Funktion: f k : x --> x^4-kx^2

Bestimmen Sie die Funktion g, die die Ortslinie aller Extrempunkte beschreibt.

Bestimmen Sie die Funktion h, die die Ortslinie aller Wendepunkte beschreibt.

Ich bin jetzt zu folgenden gekommen:

x= - √( k/2)

Umstellen auf k

x^2 = k/2 | mal -2

-2x^2 = k

Das soll ich in die Funktion einsetzen:

f(-2x^2) = x^4-(-2x^2)x^2

Und weiter komme ich jetzt nicht, vielleicht kann mir jemand helfen.

LG Patrick

Comments

Hast du tatsächlich

 f k : x = x⁴-kx²

Oder steht da anstelle von = ein Pfeil mit vertikalem Strichlein?

 f k : x  --> x⁴-kx²

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genau f k : x  --> x⁴-kx²

Answer 1

f(x) = x^4 - k·x^2
f'(x) = 4·x^3 - 2·k·x
f''(x) = 12·x^2 - 2·k

Extremstellen f'(x) = 0

4·x^3 - 2·k·x = 0
k = 2·x^2

Ortskurve aller Extrempunkte

g(x) = x^4 - (2·x^2)·x^2 = -x^4

Wendestellen f''(x) = 0

12·x^2 - 2·k = 0
k = 6·x^2

Ortskurve aller Wendepunkte

g(x) = x^4 - (6·x^2)·x^2 = - 5·x^4

Skizze: