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Aufgabe:

Betrachte Polynome f ∈ R[x] mit ganzzahligen Koeffizienten.

Gibt es solches Polynom f, das uber Z/11Z drei Nullstellen hat, über R vier Nullstellen
und über ℂ fünf Nullstellen?


Problem/Ansatz:

Ich hab schon viel ausprobiert aber finde leider kein geeignetes Polynom...

zb.:

f(x) = x5- x

Das hätte bei ℂ 5 Nullstellen.

Bei Z / 11 Z hätte es mit x1 = 0, x2 = 1 und x3 = 10 genau 3 Nullstellen.

Problem ist leider nur ℝ, denn da hätte es mit x1 = 0, x2 = -1 und x3 = 1, nur 3 Nullstellen.

Hab auch schon viele andere Sachen probiert aber es scheitert leider immer entweder an Z / 11 Z oder an ℝ...

Hätte jemand einen Tipp bzw. gibt es den einen Weg ohne wild rumprobieren?

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(x-1)(x-2)(x-3) in Z11

(x^2-1) mit -+1 in R, 1 ist bereits Nullstelle in Z11, also 4 Nullstellen

(x^2+1) in C, i als 5. Nullstelle

Alles zusammen multipliziert könnte dein Polynom ergeben.

Die Aufgabe ist wohl nur dann eine Aufgabe, wenn mit "n Nullstellen" tatsächlich "genau n Nullstellen" gemeint ist !

Problem ist nur leider das es hier in R auch nur 3 Nullstellen sind.

So wie ich die Aufgabe verstanden habe, müssen es jeweils 3 in Z/11Z, 4 in R und 5 in C sein.

Also man muss die getrennt betrachten.

Wieso sind es in R nur 3 Nullstellen?

Also wenn ich mich nicht irre, sind es doch:

x1 = 1, x2 = 2 und x3 = 3 oder nicht?

Ich kann dir zwar nicht weiterhelfen...

aber hänge gerade zufällig bei der selben aufgabe^^

kannst du mir bitte sagen, was du bei der a und der b gemacht hast?

Bin nicht sicher ob es richtig ist, aber bei der a, hab ich das Polynom x^3 + x genommen. Die Aufgabe b mach ich auch grad noch :D

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

 ich denke 5 Nullstellen in C und 4 in R geht nicht. damit es 5 ist in C hat muss es 5 ten Grades sein, wenn es 4 ist in R hat, kann man durch ihr Produkt dividieren, es bleibt ein Pol vom Grad 1 mit einer weiteren Nullstelle.

oder in C gibt es zu jeder Nullstelle auch die konjugiert komplexe, bei 5 Nst, muss mindestens eine reell sein, oder 3 reell und eine echt komplexe mit der konj. komplexen. Deshalb ist das Problem unlösbar. Die Frage ist ja auch "gibt es" und nicht konstruiere ein solches.

 Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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