Lösungsmenge einer Restklassenmatrix bestimmen

Question

Habe folgende Matrizengleichung und soll die Lösungsmenge bestimmen

$$\begin{pmatrix} [1]_{13} & [1]_{13} & [-1]_{13} \\ [2]_{13} & [0]_{13} & [1]_{13}      \\ [1]_{13} & [1]_{13} & [3]_{13}\end{pmatrix} *x =\begin{pmatrix} [3]_{13} \\ [5]_{13} \\ [1]_{13} \end{pmatrix}$$

komme dann auf

$$ \left( \begin{matrix} 1&1&-1\\ 0&-2&7\\ 0&0&4 \end{matrix} \left| \begin{matrix}3\\ -3\\ -2 \end{matrix} \right) \right.$$

wie gebe ich jetzt die Lösungsmenge an?

Answer 1

[4]₁₃ muss [3]₁₃ heißen.

Ansonsten wird sich beim Rechnen nicht viel ändern, außer das du jetzt Modulo rechnest.

Comments

habe ich das denn jetzt überhaupt richtig gerechnet? Oder funktioniert das komplett anders?

---

Du hast richtig gerechnet. Weil du dich jetzt aber in einer Restklasse befindest, hier in der Restklasse 13, rechnest du jede Zahl x  mit Modulo 13. -2 mod 13 = 11.

---

Welche Zahl c musst du in die Gleichung 4*c=-2=11 einsetzen, damit sie in Restklasse 13 lösbar wird?

---

11 / 4 mod 13 ?

---

Nein. (4*c) mod 13 = 11.

---

Einfach ausprobieren?

4*0 mod 13 = 0

4*4 mod 13 = 3

4*10 mod 13 = 1

usw.

Gibt es keinen Trick?

---

Gibt es keinen Trick?

Euklidischer Algorithmus.
Aber das ist kein Trick, sondern eine Methode.

---

Stimmt. Das dauert je nach Zahl einfach etwas lang. Rapiz wäre aber in den letzten 4 Stunden bestimmt schon damit fertig geworden.

---

Ok geht schneller, wenn man mod als - betrachtet und das ganz normal löst. Kam jetzt auf 63

---

also c = 63/4

---

Nein. Bei so einem LGS darf kein Bruch vorkommen, da du immer mit ganzen Zahlen einer Restklasse rechnest. Es ist so gemeint:

4*0 mod 13 = 0 mod 13 = 0

4*1 mod 13 = 4 mod 13 = 4

4*2 mod 13 = 8 mod 13 = 8

4*3 mod 13 = 12 mod 13 = 12

4*4 mod 13 = 16 mod 13 = 3

4*5 mod 13 = 20 mod 13 = 7

4*6 mod 13 = 24 mod 13 = 11. Gefunden. Also ist c=6. 

Das setzt du jetzt in die zweite Zeile ein und bekommst eine neue Gleichung

-2*b+7*6 =-2*b+42=-3, bzw. dann 11*b+3=10, weil (-2) mod 13 = 11, 42 mod 13 = 3 und (-3) mod 13 = 10.

Und jetzt wieder Werte (am besten bei 0 anfangen) und solange höhere Werte einsetzen, bis es passt. (11*0+3) mod 13 = 3 mod 13 = 3, usw.