Zufallsgrößen begründen (Abitur)

Question

Ich stehe vor einer Aufgabe aus meiner Klausur bei der ich lediglich 1 von 4 Punkten erhalten habe:

Aus der deutschen Bevölkerung werden hinsichtlich ihres Impfverhaltens n Personen zufällig ausgewählt. Man betrachtet die Zufallsgrößen:
M: "Anzahl derer, die geimpft sind" (mit den Parametern n und p) und

N: "Anzahl derer, die nicht geimpft sind" (mit den Parametern n und q)

Begründen sie warum gilt P (M = k) = P(N = n - k) mit k ∈ IN, k ≤ n .

Wäre sehr nett wenn mir jemand eine perfekte Erklärung dalassen könnte.

Answer 1

P(M = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Nutze (n über k) = (n über n - k) und p = 1 - q bzw. 1 - p = q

= (n über n - k) * (1 - q)^k * q^(n - k)

= (n über n - k) * q^(n - k) * (1 - q)^k = P(N = n - k)

Damit ist der Zusammenhang begründet.

Comments

= (n über n - k) * q^(n - k) * (1 - q)^k = P(N = n - k)

Könnte man hier nicht sagen das q^(n-k) zu q^(n-(n-k)) also q^k wird,

und (1-q)^k zu (1-q)^(n-k) wird? Dann wäre es auch alles dasselbe.