Anordnungsaxiome: Zeige 0<x<y ⇒ 0< 1/y < 1/x für alle x,y ∈ K

Question

Zeige \(0<x<y \Rightarrow 0<\frac{1}{y}<\frac{1}{x}\) für alle \(x,y \in \mathbb{K}\). Hierbei ist \(\mathbb{K}\) ein angeordneter Körper.

Dieser Ausdruck lässt sich umschreiben zu: \(0<x \land x<y \Rightarrow 0<\frac{1}{y} \land \frac{1}{y}<\frac{1}{x}\)

$$ 0<y^{-1} \quad |\cdot y \\ 0\overset{(\text{K4})\cdot}<1 \quad |\cdot x \\ 0\cdot x < 1\cdot x \\ 0 \overset{(\text{K3})\cdot}< x \\ $$ Und nun zum anderen Teil der logischen Aussage

$$ y^{-1}<x^{-1} \quad |\cdot x  \\ y^{-1}\cdot x < x^{-1}\cdot x \quad |\cdot y \\ y^{-1} \cdot x\cdot y < x^{-1} \cdot x \cdot y \\ \underbrace{(y^{-1}\cdot y)}_{\overset{(\text{K4})\cdot}=1}\cdot x \overset{\text{(K2; K3)}\cdot}< \underbrace{(x^{-1}\cdot x)}_{\overset{(\text{K4})\cdot}=1}\cdot y \\ 1\cdot x < 1\cdot y \\ x \overset{(\text{K3})\cdot}< y \quad \Box $$

Beachtet die "K" nicht, das sind die Körperaxiome auf die ich mich beziehe! Ist der Beweis so vollständig?

Answer 1

Das ist an sich richtig. Nur die Reihenfolge deiner Argumentation ist erstmal falsch herum. Du argumentierst von dem zu Beweisenden zur Voraussetzung. Da es sich jedoch um Äquivalenzumformungen handelt, kannst du die Reihenfolge problemlos umdrehen.

Comments

Kann man in dem Zusammenhang wirklich von falsch oder lediglich von ungewohnt reden?

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Wie gesagt, da es sich um Äquivalenzumformungen handelt, ist das erstmal OK. Dennoch hat

a) mein Prof. im 1. Semester 0 Pkt. verteilt, wenn die Argumentation falsch herum aufgezogen wurde, bzw. man das nicht direkt deutlich gemacht hat

b) da es sich offensichtlich um eine Grundlagenfrage handelt, ist es wichtig sich den "Argumentationsvorgang" vor Augen zu führen und möglichst bald eine saubere Beweisführung anzugewöhnen. Genau dazu sind solche Aufgaben da ;)

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x < y ⇒ x + z < y + z    für alle x, y, z ∈ K , K ist ein angeordneter Körper

Wenn im Skript steht, dass wenn \(x,y\in \mathbb{K}\), dann sind auch \(x+y, x\cdot y \in \mathbb{K}\), dann folgt das oben doch direkt aus der Definition... Reicht das schon? Ich machs irgendwie andersherum, weil ich mir nicht vorstellen kann, dass das alles ist.

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Das was du zitierst ist nur die Abgeschlossenheit von Körpern bzgl. Addition und Multiplikation. Das hat noch nichts mit Anordnung zu tun (gilt auch in nicht angeordneten Körpern, z.B. den komplexen Zahlen).

Dein Beweis oben stimmt schon, schreib die Schritte nur andersherum auf.