Induktion und Ungleichung mit Wurzel

Question

Aufgabe:

Sei a eine positive reelle Zahl. Zeigen Sie mit Induktion, dass für jedes m ∈ N \ {0} Folgendes gilt:

\( \sqrt[2m]{a} \) <= 1 + \( \frac{1}{2^{m - 1}} \) * (\( \sqrt{a} \) - 1)  

Problem/Ansatz:

Den Induktions Anfang für m = 1 ist recht einfach, aber wie kann man es für alle m beweisen ? Ich habe versucht es mit m -> m + 1 zu zeigen, aber mit der 2*(m+1)-te Wurzel von a kann ich nicht weiter berechnen. Soll ich etwas einsetzen, wie z.B. x := \( \sqrt{a} \) ? Bis jetzt habe ich die IA geschafft und beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter:

\( \sqrt[2(m + 1)]{a} \) <= 1 + \( \frac{1}{2^m} \)  * (\( \sqrt{a} \) - 1)

Comments

Allgemeine Vorgehensweise :
Wenn man keinen Beweis schafft, versuche man, ein Gegenbeispiel zu finden.

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Also so ganz spontan würd ich sagen, dass a = 4 ist, da bei m = 1

 \( \frac{\sqrt{a} }{2} \)  = \( \sqrt{a} \)  -1 rauskommt und bei m + 1 einsetzen 

\( \sqrt[2*(m+1)]{4} \)  = 1 + \( \frac{1}{2^m} \)  * ( \( \sqrt{4} \)  -1)

= \( \sqrt[2*(m+1)]{4} \) = 1 + \( \frac{1}{2^m} \)

= \( \sqrt[2*(m+1)]{4} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{m}{\frac{1}{2^n}} \) - \( \sum\limits_{n=1}^{m-1}{\frac{1}{2^n}} \)

= \( \sum\limits_{n=1}^{2*(m+1)}{\sqrt[n]{4}} \) - \( \sum\limits_{n=1}^{2m}{\sqrt[n]{4}} \) =  \( \sum\limits_{n=0}^{m}{\frac{1}{2^n}} \) - \( \sum\limits_{n=1}^{m-1}{\frac{1}{2^n}} \)

Ob das stimmt kann ich dir nicht versichern, aber das ist meine spontane Antwort.

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Oke im Nachhinein fällt mir auf wie viel Unsinn ich hier geschrieben habe, das stimmt natürlich nicht schon der erste Satz ist Quatsch

Answer 1

Die Aussage stimmt nicht. Nehme \( a = 16 \) und \( m = 4 \) dann folgt

$$  \sqrt[2m]{a} = \sqrt{2} $$ und $$ 1+ \frac{1}{2^{m-1}} ( \sqrt{a} - 1) = \frac{11}{8} $$ aber $$ \sqrt{2} > \frac{11}{8} $$