Lösen nichtlinearer diophantischer Gleichungen

Question

Hallo lieber Comunity der Mathelounge,

ich soll folgende nichtdiophantische Gleichungen lösen, weiß aber nicht so recht, wie ich dies machen soll und wie ich zeige, dass das alle Lösungen sind:

Aufgabe:

a) Bestimme alle ganzzahligen Lösungen (x,y,z) der Gleichung:

(x+y+z)³=x³ * y³ * z³

b) Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen (x,y,z,t) des Systems diophantischer Gleichungen:

x + y + z = t

x² + y² + z² = t²

x³ + y³ + z³ = t³

c) Bestimme Sie alle natürlichen Zahlen x,y,z mit

1/x + 1/y = 1/z

Problem/Ansatz:

Durch Probieren habe ich folgende Lösungen berechnet:

a) Mögliche Lösungen: {a,-a,0} für a aus den ganzen Zahlen

b) Mögliche Lösungen: {1,-1,a} und {1,-1,-a} für a aus den ganzen Zahlen

c) Mögliche Lösungen: x,y = a, z = a/2

Leider habe ich diese Lösungen nur durch ausprobieren,an Hand von Zahlenbeispielen gefunden, ohne zu wissen, ob das so stimmt, bzw. auch ohne fachlich korrekte Lösung.

Ich bedanke mich im Vorfeld für Eure Hilfe!

LG

Comments

Was meinst denn mit "nichtdiophantische Gleichung"?

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Hallo az0815,

da ist mir ein Fehler passiert. Ich meinte nichtlineare diophantische Gleichung!

Sobald mathelounge es mir frei gibt, werde ich es editieren!

LG

Answer 1

(x+y+z)^{3} = x^{3} * y^{3} * z^{3}

ist äquivalent zu

(x+y+z)^{3} = (x*y*z)^{3} und daher auch zu

x+y+z = x*y*z.

Comments

a) Mögliche Lösungen: {a,-a,0} für a aus den ganzen Zahlen

Ok, es gibt weitere.

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Vielen Dank für deine Antwort, das hilft mir sehr weiter!

Den Fall: x+y+z = x*y*z hatte ich in einer früheren Aufgabe und kam zu der Lösung, dass alle Permutationen von {1,2,3} und {0,0,0} Lösungen dieser Gleichung sind.

LG

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Schön! Jetzt bist du aber ganzzahlig und deine {a,-a,0} für a!=0 kommen noch hinzu.

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Klasse, vielen Dank für deine tolle Hilfe! Damit habe ich die a gelöst :)

hast du zufällig eine Idee für die b oder c :/ ?

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Also bisher muss noch gezeigt werden, dass die gefundenen Lösungen auch alle Löungen sind.

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Bastellösungen für c:

1/3 + 1/6 = 1/2

1/5 + 1/20 = 1/4

1/7 + 1/42 = 1/6

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Das habe ich gezeigt per Fallunterscheidung:

Im ersten Fall  z = 0 folgt, dass 0 = x+y folgt, dass x = -y also [a,-a,0]

Im zweiten Fall gilt: z != 0 lässt sich abschätzen mit o.B.d.A. x*y*z <= 3z, also x*y < 3, und daher x,y aus {1,2} v x = 0

Daraus ergeben sich 4 Fälle:

2.1 x = 0, dann folgt 0 = y + z, also [0,a,-a]

2.2 x = y = 1, dann gilt 1 + 1 + z = z -> Widerspruch, da 2z != z

2.3 (x,y) = {1,2}, dann gilt 1 + 2 + z = 1 * 2 *z => 3 = z und daher [1,2,3]

2.4 (x,y) = {1,3}, dann gilt 1 + 3 = 3z und daher 4 + z = 3*z => z = 2 und dann [1,3,2]

Da Z kommutativ ist, sind alle Permutationen von {1,2,3} damit Lösungen, nach Fall 1 außerdem {-a,a,0} und damit auch insbesondere {0,0,0}

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Noch eine Idee zu c):

1/(n+1) + 1/(n*(n+1)) = 1/n

gilt für alle natürlichen Zahlen n≠0.