Anfangswertproblem: xy' + y = x^3 y^6 mit y(1)=1

Question

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung des AWP:

x\(y^{'}\)+ y = \(x^{3}\)\( y^{6} \)  ,       y(1) = 1

Ich habe keinen Ansatz bzw. weiß überhaupt nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank.

Answer 1

Das ist eine Bernoulli-DGL.

Allgemeine Struktur:

y' +g(x) y= h(x) y^n

x*y'+y= x^3*y^6  |: x (x≠0)

y'+y/x= x^2 y^6

Lösung:

Answer 2

man erkennt leicht, dass auf der linken Seite (xy)' steht. Man substituiert also zunächst xy=z und erhält

z'=z^6/x^3

Diese Gleichung ist wiederum separierbar.

dz/dx=z^6/x^3

dz/z^6=dx/x^3

Integrieren

1/(5z^5)=1/(2x^2) +const.

1/z^5=5/(2x^2)+const.

z^5=1/(5/(2x^2)+const.)

z=1/(5/(2x^2)+const.)^(1/5)

xy=1/(5/(2x^2)+const.)^(1/5)

y=1/(5x^3/(2)+x^5*C)^(1/5)

AWB einsetzen, → C=-3/2