Question

Sei (xn) eine Folge reeller Zahlen, fur die ¨
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) x_n absolut konvergiert. Beweisen Sie, dass dann auch \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) x²_n konvergiert.

Könnte mir hier bitte jemand helfen

Answer 1

Wenn die Reihe zu der Folge  (x_n)_n∈ℕ absolut konvergiert, dann

ist die Folge  (|x_n|)_n∈ℕ eine Nullfolge, also

gilt von einem gewissen no an für alle n > no

    | x_n | < 1

==>  | xn | ^2 < | xn |

also ist die Reihe mit | xn | ^2 = x_n  ^2

eine Minorante und damit konvergent.