Gleichung mit Produktzeichen beweisen

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle\prod\limits_ {j=3}^n \left( 1-\dfrac{4}{j^2}\right) =\dfrac{(n+1)(n+2)}{6(n-1)n}\)

Problem/Ansatz:

Wir sollen dises Gleichung beweisen und dabei ist die Mehode, wie wir diese Aufgabe lösen uns überlassen aber das Produktzeichen am Anfang verwirrt uns sehr. 

Wenn Ihr uns helfen würdet würden wir uns freuen:)

Comments

Da fehlen Klammern um Zähler / Nenner.

Answer 1

Vollständige Induktion.

das Produktzeichen am Anfang verwirrt uns sehr

Ist euch

        \( \left(1-\frac{4}{3^2}\right)\cdot\left(1-\frac{4}{4^2}\right)\cdot \dots\cdot \left(1-\frac{4}{(n-1)^2}\right)\cdot\left(1-\frac{4}{n^2}\right) =\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6\left(n-1\right)n} \)

lieber?

Comments

Also wir haben jetzt versucht die Gleichung mit der Induktion zu beweisen und sind bis zu einem Punkt gekommen und ab da nicht mehr weiter:

Also zunächst für das kleinste n zeigen und dann für alle folgenden.

IA: n = 3

Produkt von j=3 bis 3   (1-4/3^(2)) = (3 + 1) * (3 + 2) / 6 * (3 - 1) * 3

=> 5/9 = 5/9  also stimmt das schon mal.

IS: n -> n + 1

Produkt von j = 3 bis n + 1

(1 - 4/(n+1)^(2))  = (n + 2) * (n + 3) / 6n^(2) + 6n

und ab hier wissen wir nicht mehr weiter

Answer 2

Ein Versuch ohne Induktion:$$\prod_{k=3}^n\left(1-\frac4{k^2}\right)=\prod_{k=3}^n\left(\frac{k-2}k\cdot\frac{k+2}k\right)=\frac{(n-2)!}{\frac12n!}\cdot\frac{\frac1{24}(n+2)!}{\frac12n!}=\frac1{(n-1)n}\cdot\frac{(n+1)(n+2)}6.$$

Comments

Danke für den Beitrag aber leider verstehe ich deinen Weg überhaupt nicht ud weiß gerade nicht einm al ob das auch schon bei dir die Lösung ist, weil siehtziemlich kurz aus?

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weil siehtziemlich kurz aus?

Nicht schlecht.

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Du könntest auch gleich kürzen, z.B.:$$\prod_{k=3}^n\frac{k-2}k=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots(n-2)}{3\cdot4\cdot5\cdots n}=\frac{1\cdot2}{(n-1)\cdot n}.$$