Beweis für eine Gleichung mit Produktzeichen!

Question

Ich muss diese Formel beweisen:

\( \prod \limits_{k=0}^{n}\left(1+q^{2^{k}}\right)=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q} \)

Außerdem muss ich herausfinden welche Formel sich ergibt, wenn man q = 1 setzt.

Answer 1

Vollständige Induktion dürfte hier die einfachste Beweismethode sein. Noch einfacher wirds wenn die geometrische Summenformel bereits bekannt ist. Für q=1: Einfach einsetzen und schauen was passiert (um Zweifelsfall mal für kleine n)

Comments

Und wie sieht die Anwendung der Induktion hier aus ... Also ich habe zunächst das Produktzeichen in seine einzelnen Faktoren zerlegt und wollte die Gleichung so umstellen, zusammenfassen, dass sie dem rechten Term entspricht. Nur leider weiß ich nicht genau wie.