Verständnisfrage zur Ebene H die parallel zu E liegt

Question

Gegeben ist die Ebene E:x1+2x2-2x3=0

Gib eine Koordinatengleichung der Ebene H an die parallel zu Eliot und den Punkt P(1/3/-5) enthält. Meine Frage dazu ist, kann ich einfach 1x1+3x2-5x3=0 machen?

Ich bin mir nicht sicher weil mein Lehrer mal gesagt hat, gleiche Lösung heisst das es parallel ist. Auf den Lösungen steht nun nämlich x1"22-2x3=17. Damit wäre meine Überlegung natürlich falsch.

Answer 1

1x1+3x2-5x3=0

ist natürlich nicht möglich. Denn der Punkt (1|3|-5) erfüllt ja nicht die Gleichung. Weiterhin ist der Normalenvektor nicht linear abhängig und damit verlaufen die Ebenen nicht parallel.

Eigentlich nimmst du nur die Ebene

x1 + 2x2 - 2x3 = 0

und ersetzt die 0 durch ein c

x1 + 2x2 - 2x3 = c

Damit hast du Grundsätzlich alle Ebenen die parallel laufen. Da der Punkt (1|3|-5) ja die Gleichung erfüllen muß wählen wir das c so das bei Einsetzen dieses Punktes die Gleichung erfüllt ist

(1) + 2(3) - 2(-5) = 17

So kommst du also auf die Ebenengleichung

x1 + 2x2 - 2x3 = 17