Konvergenz einer Folge durch Induktion beweisen

Question

Aufgabe:

Hi, ich soll die Konvergenz einer Folge mit hilfe einer Induktion zeigen und wenn die Folge konvergiert soll ich den Grenzwert bestimmen.

Zeigen Sie mit einem Induktionsbeweis, dass 2^(n) > n    für alle n ∈ N gilt.

das habe ich bereits bewiesen :

2^(n) > n   für n = 1 => 2 > 1 das stimmt.  jetz IS: n -> n + 1 

2^(n+1) > n+1

2 * 2^(n) > 2n

2^(n+1) > (n + 1) + (n - 1) 

=> n - 1 >= 0   für alle n ∈ Z+ gilt.

=> 2^(n+1) > n+1#

jetzt soll ich mit diesem Beweis zeigen, dass die Folge:

1.000.000 * 2^(-n) konvergiert

und hier fängt auch das Problem an, denn ich habe keinen Plan wei ich das zeigen soll. Bin dankbar für jede HIlfe:)

LG

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Konvergenz durch Induktion beweisen

Stichworte: vollständige-induktion,beweis,induktion,analysis

Aufgabe:

Hi,

ich soll per Induktion zeigen, dass 2^(n) > n für alle n ∈ N gilt.

das habe ich schon getan und es kommt:

2 * 2^(n) > 2n

2^(n + 1) > (n + 1) + (n -1)  : n - 1 >= für alle n ∈ Z+

2^(n + 1) > (n + 1)

Aber danach soll ich mit diesem Beweis zeigen, dass die Folge

1.000.000 * 2^(-n) konvergiert und wenn Sie konvergiert soll ich auch den Grenzwer bestimmen.

Lieder habe ich absolut keine Ahnung wie ich das machen soll.

Wenn Ihr mir helfen könntet wäre ich sehr dankbar.

LG

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Hallo es lohnt sich im Forum zu suchen!

https://www.mathelounge.de/633092/konvergenz-einer-folge-durch-induktion-beweisen

lul

Answer 1

Nutze die Potenzgesetze und schreibe die Behauptung damit um und nutze deine bewiesene Behauptung davor als eine Abschätzung.

Answer 2

Beh: es gibt  zu jedem ε ein N so dass für alle n>N  10^6/2^n<ε

also 10^6/ε<2^n* und das gilt für n>= 10^6/ε

Gruß lul