Zeigen Sie, dass die Folge für jede Wahl der Startwerte konvergiert

Question

Aufgabe (Geometrische Reihe, Berechnung eines Grenzwerts):

Zeigen Sie, dass die Folge für jede Wahl der Startwerte konvergiert

Aufgabe:

Es sei (a_{n}) n ∈ ℕ_{0}0 eine Folge komplexer Zahlen mit a_{n} + 1 = 1/2·(a_{n} + a_{n-1}), (n ≥ 1).

Die Startwerte a_{0} und a_{1} seien vorgegeben. Zeigen Sie, dass die Folge für jede Wahl der Startwerte konvergiert, und berechnen Sie

\( a := \lim \limits_{n \to \infty} a_{n}\)

in Abhängigkeit von a_{0} und a_{1}.

Hinweis: Betrachten Sie die Differenzen ∆n := a_{n+1} − a_{n}. Für die Berechnung des Grenzwerts ist die geometrische Reihe nützlich.

Answer 1

Hallo

Δn=-1/2*Δ(n-1)

und ∑^nΔn=a1-a0+a2-a1+a3-a2+......a(n+1)-an=a0+a(n+1)

Gruß lul

Answer 2

$$a_{n+1}:=\tfrac12(a_n+a_{n-1})\text{ mit }a_0,a_1\in\mathbb C.$$$$d_n:=a_{n+1}-a_n$$$$d_n=\tfrac12(a_n+a_{n-1})-a_n=(-\tfrac12)(a_n-a_{n-1})$$Induktiv folgt$$d_n=(-\tfrac12)^n(a_1-a_0)$$Weiter ist$$a_{n+1}=d_n+a_n$$Induktiv folgt$$a_{n+1}=\sum_{k=0}^nd_k+a_0$$$$\qquad=(a_1-a_0)\sum_{k=0}^n(-\tfrac12)^k+a_0$$$$\qquad=\tfrac23(a_1-a_0)\big(1-(-\tfrac12)^{n+1}\big)+a_0$$Bilde nun den Grenzwert für  \(n\to\infty\).