Differentialgleichung für Bevölkerungsentwicklung

Question

Aufgabe:

DIe Werte der Weltbevölkerung der letzten Jahren: ( Werte in Milliarden! )

1950: 2,54

1980: 4,46

2017: 7,55

a) Ein erstes mathematisches Modell zur Beschreibung des Wachstums der
Weltbevölkerung lautet

x′ = ax.

i) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an und
bestimmen Sie die Unbekannten, indem Sie die Messwerte von 1950
und 1980 benutzen.
ii) Welche Werte würden sich nach diesem Modell für die Jahre 2017
und 2100 ergeben?
b) Ein erweitertes Modell sei gegeben als

x′ = ax − bx2, x(2017) = 7.55
mit a = 0.025, b = 0.0018.

i) Lösen Sie das gegebene Anfangswertproblem.

ii) Welcher Wert würde sich nach diesem Modell für das Jahr 2100 ergeben?
iii) Was ist die maximale Bevölkerungsgröße, die für diese Parameterwerte erreicht werden kann?

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe einfach überhaupt nicht weiter. Wäre super, wenn mir dort wer Helfen könnte!

LG Chris

Comments

Ansatz zu

a.i) Integrieren und einsetzen.

a.II) x(2017) und x(2100) ausrechnen.

Answer 1

x′ = ax

dx/dt = a*x Trennung der Variablen

dx * 1/x =  a * dt  Integration liefert

ln(x) = a*t  + C

also x = e^( a*t  + C ) =  e^( a*t) * e^C   =    e^( a*t) * K

Also muss man a und K bestimmen mit

1950:             2,54*10^9 =  e^(1950*a)*K   #

1980:              4,46*10^9=  e^(1980*a)*K

untere durch obere gibt

                    1,76= e^(30*a)

                ln(1,76) = 30a

                              a = 0,0188

Damit in # gibt   K = 2,54*10^9 / e^(36,7) =2,796*10^(-7)

also x(t) = 2,796*10^(-7) *  e^( 0,0188*t)

gibt für 2017 dann x(2017)=8,977*10^9    also 8,97 Milliarden.

Comments

Das war sehr hilfreich!

Hättest du auch einen Ansatz oder eine Lösung zu dem AWP in Aufgabenteil b)?