Vektorgeometrie: Parametergleichung der Normalebene bestimmen mit einem Punkt und einer Gerade

Question

Aufgabe:

Die Gerade g: (x, y, z) = (4, 4, 4) + t* (-1, 1, 2) ist gegeben. Der Punkt M (3, 5, 6) ist gegeben. Wie lautet die Parametergleichung der Normalebene zu g, die durch M verläuft?

Lösung ist: (x, y, z) = (3, 5, 6) + t1* (1, 1, 0) + t2* (-2, 0, -1)

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass man den Punkt als Ortsvektor für die Ebene nehmen kann, aber wie kommt man auf die beiden Richtungsvektoren??? Ich weiss auch, dass die Gerade senkrecht auf der Ebene liegt.

Answer 1

Hallo

du nimmst als Richtungsvektoren  2 beliebige linear unabhängige die senkrecht auf dem Richtungsvektor der geraden senkrecht stehen,  also Skalarprodukt mit (-1,1,2) =0 (hier wurden besonders einfache gewählt)

Gruß lul

Comments

Also kann ich für den einen Richtungsvektor einfach (2, 2, 0) nehmen?

Und für den anderen: (6, 6, 0) ???

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Dann wäre meine Parametergleichung: E: (x, y, z) = (3, 5, 6) + t1*(2, 2, 0) + t2* (6, 6, 0)

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Stimmt das????

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Hallo

 nein, denn (2,2,0) und (6,6,0) sind ja nicht linear unabhängig, also eigentlich mit r oder s multipliziert derselbe Vektor.

Gruß lul

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Wie bekommt man einen linear unabhängigen Vektor?

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Kreuzprodukt der beiden Vektoren??

Z.B. (-4, 4, -4) ???

Oder Z.B. (-12, 12, -12)???

Die beiden wären linear unabhängig, aber doch als Skalarprodukt 0.

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Hallo

von welchen Vektoren willst du den das Kreuzprodukt nehmen?

Und dass  (-4, 4, -4)*(-1, 1, 2)=1 und nicht 0 ist kannst du doch sicher sehen,

du willst     (-1, 1, 2)*(x,y,z)=0 dakannst du einen immer 0 nehmen, damit hattest du dein (2,2,0) oder (a,a,0) beliebig. dann nimm ein anderes 0 damit es Lin unabhängig wir also y=0 dann hast du -x+2z=0 z.B z=1,x=2 also (2,0,1)  oder x=0  dann y+2z=0;  z=1,y=-2 also (0,-2,1)dadurch dass du di 0 an verschiedene Stellen hast , können die Vektoren keine Vielfachen voneinander sein sind also Lin  unabhängig.

Gruß lul

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(-4, 4, -4)*(-1, 1, 2) ist 0 und nicht 1.

-4* (-1) + 4*1 + (-4) *2 = 0

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Ich weiss jetzt nicht, was ich tun soll. Soll ich bei der Prüfung dann einfach zwei unabhängige Richtungsvektoren nehmen und das dann definieren??? Wie weiss dann der Lehrer, dass ich das richtig gemacht habe? Das würde auch heissen, dass es keine eindeutige Lösung gibt.

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Hallo

es gibt keine eindeutige Darstellung einer Ebene, sowohl den Aufbukt kann man irgendwo nehmen, als auch irgend 2 linear unabhängige Richtungsvektoren. Trotzdem ist die Ebene eindeutig bestimmt, nur die Darstellung ist nicht eindeutig.

bei dem skalarprodukt hast du recht und ich mich verrechnet. du kannst also auch   (-4, 4, -4) als zweiten Richtungsvektor nehmen und jedes Vielfache davon.

in der Prüfung musst du nur sagen, dass die 2 Richtungsvektoren Lin. unabhängig sind und bei 2 Vektoren heisst das dass sie nicht Vielfache voneinander sind. D.h. du definiert nichts

Gruß lul