Mit LGS feststellen, ob sich die beiden Geraden schneiden

Question

Aufgabe:

Hallo ich soll schauen ob sich diese beiden Geraden schneiden:

x:h = (8|8|0) + r(-6|-6|5)

x:f = r ( 6|6|5)

x:h = x:f

1. 8-6r = 6r

2. 8-6r = 6r

3. 0+5r = 5r

WIe soll ich denn zeigen jetzt das sie isch shcneiden???

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Answer 1

zunächst musst du schauen, ob die Richtungsvektore vielfache voneinander sind. Das sind sie nicht, daher können die Geraden nur windschief sein, oder einen Schnittpunkt besitzen.

Du hast das Gleichungssystem jetzt schon richtig aufgestellt, wobei du nicht 2 mal r verwenden solltest, sondern zB r und s.

=> r = 2/3, s = 2/3

Da wir eine Lösung erhalten haben ( r und s müssen hierfür nicht identisch sein) schneiden sich die Geraden. Setze nun r in x:h, oder s in x:f ein, um den Schnittpunkt zu ermitteln.

Comments

Muss dann der Punkt bei beiden gleich sein?

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Ja genau, eine Kontrolle bestätigt dies:

\( \begin{pmatrix} 8\\8\\0 \end{pmatrix} \)  +\( \frac{2}{3} \) *  \( \begin{pmatrix} -6\\-6\\5 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\4\\\frac{10}{3} \end{pmatrix} \)

\( \frac{2}{3} \) *  \( \begin{pmatrix} 6\\6\\5 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\4\\\frac{10}{3} \end{pmatrix} \)

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Alles klar danke!!

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könntest du mir das lgs lösen bitte

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I. 8 - 6r = 6s

   6s + 6r = 8

II. 8 - 6r = 6s

    6s + 6r = 8

III. 5r = 5s

     5r - 5s = 0

I. 6s + 6r = 8

II. 6s + 6r = 8  |II. - I.

III. 5r - 5s = 0  | 6*III. - 5*I.

I. 6s + 6r = 8

II. 0

III. -60s = -40

           s = 2/3

einsetzen in I.

6 * 2/3 + 6r = 8

                r = 2/3

Answer 2

Die Parameter können unabhängig voneinander beliebige Werte annehmen, daher im Ansatz unterschiedliche Buchstaben verwenden.

x_h = (8|8|0) + r(-6|-6|5)

x_f = s( 6|6|5)

Das LGS sollte zuerst besser so aussehen.

1. 8-6r = 6s

2. 8-6r = 6s

3. 0+5r = 5s

1. und 2. sind identisch. D.h. du kannst 2. weglassen

1. 8-6r = 6s

3. 0+5r = 5s  | :5

3.'   r = s        | Das hier in 1. einsetzen.

8 - 6r = 6r

8 = 12 r

8/12 = r

2/3 = r

Wegen (3.') r = s = 2/3