Gegeben: Zerfallskonstante. Gesucht: Halbwertszeit.

Question

Aufgabe:

Die Zerfallskonstante von Radium beträgt \( 1,375*10^{-11} s^{-1} \). In welcher Zeit zerfällt die Hälfte der Radiumkerne?

Problem/Ansatz:

Man findet überall die Formel: \( \tau=1 / \lambda, T_{1 / 2}=\ln 2 / \lambda, \Gamma=\hbar / \tau=\hbar \lambda \). Sprich: die Halbwerszeit sollte ln2 dividiert durch die oben gegebene Zerfallskonstante sein. Wenn ich das so in den Rechner tippe, kommen mir sehr wunderliche Ergebnisse heraus. Nach Netz-Recherche weiß ich aber, dass die Halbwertszeit von Radium 1600 Jahre beträgt.

Answer 1

das ist eine Frage der Zeiteinheit (1s = 1 Sekunde)

T_1/2  =  ln(2) / (1,375*10^-11 s^-1) = ln(2) /1,375 * 10¹¹ s  ≈  0,50410704 * 10¹¹ Sekunden

      =  0,50410704 * 10¹¹ s / (24*60*60*365 s)   Jahre  ≈  1598,5  Jahre  ≈  1600 Jahre

                         [ 24*60*60*365 Sekunden = 1 Jahr ]

Gruß Wolfgang

Comments

Lieber Wolfgang,

entschuldige die erneute Störung!

Wenn ich es genau wie Du im Taschenrechner eingebe, kommt bei mir heraus:

5,041*10^-12. Mir ist klar, dass wenn ich die Kommastelle verschiebe, da steht: 0,5041*10^-12. Es steht aber noch immer ein Minus da. Nimmst Du die Zahl einfach als positiv an oder fehlt da ein Rechenschritt?

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ln(2) / (1,375*10^-11 s-1) = ln(2) /1,375 * 10¹¹ s  [ = ln(2)·10¹¹ s / 1,375 ]

die 10^-11 s^-1 aus dem Nenner wird zu 10¹¹ s¹ , wenn man sie "nach oben" schreibt

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Eine Frage. Es ist doch Halbwertszeit gefragt. Sollte man dann nicht ln(0.5) nehmen statt ln(2). Das 2. Wäre doch Verdopplungszeit

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m0 = anfangsmenge
m ( t ) aktuelle Menge bei t sekunden
lambda = 1,375∗10^(−11)

m ( t ) / m0 : Anteil m ( t ) an m0
Beispiel
aktuelle Menge zu Anfangsmenge
3 / 7 = 0.4286  => 42.86 %

m ( t ) = m0 * e ^(-λ*t)
m ( t ) / m0 = e ^(-λ*t)
m ( t ) / m0 = e ^(-λ*t)  = 0.5  | 50 %

e ^(-1,375∗10^(−11)*t)  = 0.5 | ln ( )
-1,375∗10^(−11)*t = ln ( 0.5 )
t = 5.041 * 10  ^10

Umwandlung in Jahre
t / 60 / 60 / 24/ 365 = 1600 Jahre

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@maiscorn

Mit der Zerfallskonstanten λ ergibt sich die Halbwertszeit zu

T_1/2 = ln(2) / λ

https://de.wikipedia.org/wiki/Halbwertszeit#Exponentieller_Zerfall

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Eine Frage. Es ist doch Halbwertszeit gefragt. Sollte man dann nicht ln(0.5) nehmen statt ln(2). Das 2. Wäre doch Verdopplungszeit

Weil die Basis in der Darstellung \(\text{e}^{\lambda t}\) größer als 1 ist, und es sich um einen Zerfallsprozess handelt, muss der Exponent negativ sein. Das möchte man aber nicht und verwendet daher die Form \(\text{e}^{-\lambda t}\), in der das Minus aus der Formel kommt und das lambda positiv ist.

Mit positivem lambda gilt dann nach den Logarithmusregeln für die Halbwertszeit: $$T_{1/2} = \dfrac{-\ln(0.5)}{\lambda}=\dfrac{2}{\lambda}$$ Daher kommt also die 2.

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Vielen Dank. Ich verstehe es nun

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Daher kommt also die 2.

Es sollte aber darüber rechts wohl  ln(2) / λ   [  ≠  2/λ ]   lauten.

Answer 2

Herleitung
z ( t ) = z0 * e^(λ*t)
z ( t ) / z0 = e^(λ*t)
Die Hälfte zerfallen
z ( t ) / z0 = aktuell / Anfang = 0.5
0.5 = e^(λ*t)  | ln
ln(0.5) = λ*t
ln(0.5) = - 1,375* 10^(-11) * t
t = 0.504 * 10^(11) sec

Comments

Nimmst Du die Zahl einfach als positiv an oder
fehlt da ein Rechenschritt?

Die Zerfallfunktion ist eine Exponentialfunktion
meist mit der Basis e.
Der Zerfall ist abnehmend deshalb muß es heißen
e ^(-λ*t)
Jetzt wird die Funktion fallend.
Die Zerfallskonstante von Radium beträgt
λ =1,375*10^(-11)

Vielleicht hilft dir
https://physikunterricht-online.de/jahrgang-12/halbwertszeit-und-zerfallsgesetz/
noch weiter.