Elementare Umformungen bzgl. Matrizen

Question

Folgende Aussage soll gezeigt werden:

Seien A ∈ M_m,n(K) und b ∈ K^m. Zeigen Sie: Ist (A',b') aus (A,b) durch elementare Zeilenumformungen hervorgegangen, so gilt L(A',b') = L(A,b), also

{x ∈ Kⁿ | Ax = b} = {x ∈ Kⁿ | A'x = b'}.

:)

Answer 1

Jede elementare Zeilenumformung kann durch Multiplikation mit einer Matrix durchgeführt werden. Das heißt, sind A' und b' durch Anwendung einer elementaren Zeilenumformung .aus A und b entstanden, dann gibt es ein M, so dass

        A' = M·A ∧ b' = M·b

ist. Es gilt somit

       Ax = b ⇒ M·(Ax) = M·b ⇒ (M·A)x = M·b ⇒ A'x = b'.

Die dazu benötigte Matrix M ist invertierbar. Es gilt also

        A'x = b' ⇒ M^-1·(A'x) = M^-1·b' ⇒ (M^-1·A')x = M^-1·b' ⇒ (M^-1·M)·Ax = (M^-1·M)·b ⇒ A·x = b.