Hallo,
Wenn die Aussage für genau eine elementare Zeilenumformung stimmt, so stimmt sie auch für ein Abfolge solcher Umformungen.
Für die eine Zeilenumformung betrachte ich einen Zeilenvektor \(z_a\) in der Matrix \(A\) und den Zeilenvektor \(z_c\) der Matrix in der gleichen Zeile. Da \(A \cdot B = C\) ist, muss offensichtlich gelten$$z_a^T \cdot B = z_c^T$$Und das gilt natürlich auch für jede andere Zeile$$x_a^T \cdot B = x_c^T$$Eine Zeilenumformung einer Zeile der Matrix ist im Grunde das Ergebnis einer Linearkombination dieser und einer weiteren Zeile. Ist \(x_a\) der Zeilenvektor aus \(A\) und \(x_c\) der Zeilenvektor der gleichen Zeile in \(C\) dann sind die damit umgeformten Zeile \(z_a'\) und \(z_c'\)$$z_a' = u \cdot z_a + v \cdot x_a \quad u,v \in \mathbb R \\ z_c' = u \cdot z_c + v \cdot x_c$$Nun berechne das Produkt \(z_a'^T \cdot B\)$$\begin{aligned} z_a'^T \cdot B &= (u \cdot z_a + v \cdot x_a)^T\cdot B \\&= u \cdot z_a^T \cdot B + v \cdot x_a^T \cdot B \\&= u \cdot z_c^T + v \cdot x_c^T \\&= z_c'^T\end{aligned}$$Sind also \(A'\) und \(C'\) die Matrizen, bei denen jeweils eine Zeile \(z_a\) bzw. \(z_c\) in oben beschriebener Weise verändert wurde, so muss auch gelten$$A' \cdot B = C'$$da alle weiteren Zeilen unverändert sind und auch nicht von \(z_a\) bzw. \(z_c\) abhängen.
