Ich mag nicht alle Aufgaben vorrechnen, ein bisschen was musst du auch selber leisten.
Ich zeige (a) und (c):
(a)
$$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { \sqrt { x } -1 }{ x²+5x } }$$
L'Hospital-Typ "∞/∞", also berechnet man den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen von Zähler und Nenner:
$$=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { \frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } }{ 2x+5 } }$$
Äquivalenzumformung:
$$=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 2\sqrt { x } (2x+5) } }$$
Der Nenner geht für x -> ∞ gegen Unendlich, der Zähler hingegen ist konstant, also ist der Grenzwert des Bruches
$$=0$$
(c)
$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { sin(x-1) }{ \sqrt { x-1 } } }$$
L'Hospital-Typ "0/0", also berechnet man den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen von Zähler und Nenner:
$$=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { cos(x-1) }{ \frac { 1 }{ 2\sqrt { x-1 } } } }$$
Äquivalenzumformung:
$$=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 2\sqrt { x-1 } cos(x-1) }$$
Konstanten Faktor herausziehen:
$$=2\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \sqrt { x-1 } cos(x-1) }$$
Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der Faktoren, also:
$$=2\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \sqrt { x-1 } *\lim _{ x\rightarrow 1 }{ cos(x-1) } }$$
Grenzwerte bestimmen:
$$=2*0*1=0$$