Regel von de le'Hospital. lim (√x -1)/(x^2 + 5x)

Question

Regel von de L'Hospital: Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Funktionen:

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}+5 x} \);

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{e^{2 x}-3 x-1} \)

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sin (x-1)}{\sqrt{x-1}} \);

(d) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x e^{-x^{2}} \)

(e) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}+7 x\right) e^{-x} \)

Comments

Siehe auch hier:
https://www.mathelounge.de/63444/regel-von-de-lhospital-grenzwerte?show=63453#a63453

Answer 1

Ich mag nicht alle Aufgaben vorrechnen, ein bisschen was musst du auch selber leisten.

Ich zeige (a) und (c):

 

(a)

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt { x } -1 }{ x²+5x }  }$$

L'Hospital-Typ "∞/∞", also berechnet man den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen von Zähler und Nenner:

$$=\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  }  }{ 2x+5 }  }$$

Äquivalenzumformung:

$$=\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ 2\sqrt { x } (2x+5) }  }$$

Der Nenner geht für x -> ∞ gegen Unendlich, der Zähler hingegen ist konstant, also ist der Grenzwert des Bruches

$$=0$$

 

(c)

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { sin(x-1) }{ \sqrt { x-1 }  }  }$$

L'Hospital-Typ "0/0", also berechnet man den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen von Zähler und Nenner:

$$=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { cos(x-1) }{ \frac { 1 }{ 2\sqrt { x-1 }  }  }  }$$

Äquivalenzumformung:

$$=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 2\sqrt { x-1 } cos(x-1) }$$

Konstanten Faktor herausziehen:

$$=2\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \sqrt { x-1 } cos(x-1) }$$

Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der Faktoren, also:

$$=2\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \sqrt { x-1 } *\lim _{ x\rightarrow 1 }{ cos(x-1) }  }$$

Grenzwerte bestimmen:

$$=2*0*1=0$$

Answer 2

Wir wenden die Regel von L'Hospital an (-->)

(√x - 1)/(x^2 + 5·x) --> 1/(2·√x) / (2·x + 5) = 1/(2·√x·(2·x + 5))

LN(1 + x) / (e^{2·x} - 3·x - 1) --> (1/(x + 1)) / (2·e^{2·x} - 3) = 1/((x + 1)·(2·e^{2·x} - 3))

x·e^{- x^2} = x / e^{x^2} --> 1 / (2·x·e^x^2)

(x^2 + 7·x) / e^x --> (2·x + 7) / e^x --> 2 / e^x