Wahr oder falsch? Ist die Einschränkung von α auf U auch nicht diagonalisierbar.

Question

Wahr oder falsch?

Seien K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und α ∈ EndK(V ).

a) Falls α nicht diagonalisierbar ist und U ≤_K V ein α-invarianter Teilraum ist, dann ist die Einschränkung von α auf U auch nicht diagonalisierbar.

Answer 1

Diese Aussage ist falsch. Sei \(V=K^2\) und \(\alpha:V\rightarrow V\)

durch die Bilder der Standardbasis gegeben durch

\(\alpha(e_1)=e_1\) und \(\alpha(e_2)=e_1+e_2\).

Dann ist \(U=Ke_1\) ein \(\alpha\)-invarianter Unterraum

und \(\alpha|U=id_U\) ist trivialerweise diagonalisierber.

\(V\) besitzt aber keine Basis aus Eigenvektoren von \(\alpha\),

\(\alpha\)  ist also nicht diagonalisierbar.