induktive Folge (an)n>=1 gegeben

Question

Aufgabe:

Es sei a ∈ R, a > 0 und k ∈ N, k ≥ 2. Induktiv sei eine Folge
(a_n)_n≥1 ⊂ R gegeben durch

\(a_1=1+a\) und \(a_{n+1}=a_n\cdot \left(1+\frac{a-a_n^k}{k\cdot a_n^k}\right)\) für n∈ℕ

zeigen sie :

i)\( \sqrt[k]{a} \) ≤ a_n+1≤ a_n für n∈ℕ

ii) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n = \( \sqrt[k]{a} \)

Problem/Ansatz:

zu ii) der Grenzwert von \( \sqrt[k]{a} \) ist 1, mir ist hier leider nicht ersichtlich, wie der Grenzwert dieser folge a_n auch 1 sein kann, oder habe ich schon hier einen Fehler drin in meinem Gedankengang?

zu i) gleicher Gedanke wie bei ii): wie kann \( \sqrt[k]{a} \) kleiner als a_n+1  sein?

Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand noch helfen könnte

Comments

Die Rekursionsformel erinnert ein wenig an das verallgemeinerte Heron-Verfahren.

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Verallgemeinerung_des_Verfahrens

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az,

mich erinnert es eher an das Newton-Verfahren für \(f(x)=x^k-a\). Dann ist \(f'(x)=k\cdot x^{k-1}\)

Für \(x_{n+1} = x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\):

$$\begin{array}{l} x_{n+1} &=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \\ &=x_n-\dfrac{x_n^k - a }{kx_n^{k-1}}\\ &=x_n-x_n\dfrac{x_n^k - a }{kx_n^{k}} \\ &=x_n\left(1-\dfrac{x_n^k - a }{kx_n^{k}}\right)\\ &=x_n\left(1+\dfrac{a-x_n^k }{kx_n^{k}}\right) \end{array} $$

Ups, Heron-Verfahren ist im Prinzip das Newton-Verfahren.