Question

Gegeben ist die Folge <an>=<(1+2n)/(3n-2)>:

a.) Geben Sie die ersten 5 Folgeglieder an:

R:

n=1: (1+2*1)/(3*1-2)=3/1=3

n=2: (1+2*2)/(3*2-2)=5/4

n=3: (1+2*3)/(3*3-2)=7/7

n=4: (1+2*4)/(3*4-2)=9/10

n=5: (1+2*5)/(3*5-2=11/13

b.) Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie:

R:

n=1: ...........3

n=2:...........1,25

n=3:...........1

n=4:.............0,9

n=5:........0,846

AW: Die Folge ist divergent weil sich kein Grenzwert finden lässt. Sie ist auch streng monoton fallend weil jedes Folgeglied kleiner als sein Vorgänger: an+1<an, ist.

Veranschaulichung: n=4 ...<....n=3, da 0,9<1.

c.) Untersuchen Sie die Folge auf Schranken: [<an>=<(1+2n)/(3n-2)>:]

R:n=1: (1+2 *1)/(3*1-2)=3/1=3

Die obere Schranke mit 3 kann ich mir direkt ablesen sofern dies iimmer bei n=1: gelten solle.

Bei der unteren Schranke habe ich da schon mehr Probleme:

Wie soll ich die Schranke heraus bekommen, wenn ich nicht alle Folgen durchrechne.

Bzw. welche Bedeutung hat "1" ist die als EIGENE SCHRANKE definiert?

(Ich denke das kommt auf die gegebene Folge an oder).

Wie erwähnt möchte ich nicht immer alle Folgen, mit verschiedenen n durchrechnen. Welche Möglichkeit habe ich ohne den Limes?

d.) Ermitteln Sie den Grenzwert dieser Folge:  [<an>=<(1+2n)/(3n-2)>:]

R:

[(1/n)+(2n/n)]/[(3n/n)-(2/n)]=

=(0+2)/(3-0)

=2/3

AW: Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 2/3.

e.) Ab dem wie vielten Folgeglied gilt: an<0,7?

AW:

n=1: (1+2*1)/(3*1-2)=3/1=3

n=2: (1+2*2)/(3*2-2)=5/4

n=3: (1+2*3)/(3*3-2)=7/7

n=4: (1+2*4)/(3*4-2)=9/10

n=5: (1+2*5)/(3*5-2=11/13

n=6: (1+2*6)/(3*6-2)=0,8125

n=7: (1+2*7)/(3*7-2)=0,789

n=8: (1+2*8)/(3*8-2)=0,772

n=9: (1+2*9)/(3*9-2)=0,76

n=10: (1+2*10)/(3*10-2)=0,75

n=11:(1+2*11)/(3*11-2)=0,7419

n=12:(1+2*12)/(3*12-2)=0,735

n=13:(1+2*13)/(3*13-2)=0,7297

n=14:(1+2*14)/(3*14-2)=0,725

n=15:(1+2*15)/(3*15-2)=0,7209

n=16:(1+2*16)/(3*16-2)=0,717

n=17:(1+2*17)/(3*17-2)=0,8125

n=25:(1+2*25)/(3*25-2)=0,6986

AW: Ab dem 25. Folgeglied gilt <an>......<0,7.

Answer 1

"Die Folge ist divergent weil sich kein Grenzwert finden lässt. Sie ist auch streng monoton fallend weil jedes Folgeglied kleiner als sein Vorgänger:"

Überlege dir das nochmal genau:

(1+2n)/(3n-2)= ( n* (1/n+2)) / (n * (3-2/n) = (1/n+2) / ( 3 - 2/n)

Also limes davon für n gegen unendlich?

Die anderen Aufgaben schaue ich mir später an,falls kein anderer das macht.

PS: Ich sehe übrigens keine Frage in deiner "Frage".

Comments

Bei c.) schaffe ich es nicht die untere Schranke zu berechnen.

Answer 2

an = (1 + 2·n)/(3·n - 2)

b.) Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie

Habt ihr die Untersuchung im Unterricht immer nur rein optisch anhand der paar Folgeglieder gemacht. Wie kannst du von 5 Werten auf die ganze Folge schließen.

Schau nochmal genau an wie ihr das im Unterricht gemacht habt. Ohne ein Vernünftiges Basiswissen wirst du kaum Erfolg bei solchen Aufgaben haben.

Du müsstest allgemein zeigen das a(n+1) < an ist.

(1 + 2·(n+1))/(3·(n+1) - 2) < (1 + 2·n)/(3·n - 2) 

Nach n auflösen ergibt:

n < - 1/3 ∨ n > 2/3

Weil n >= 1 ist, ist die Bedingung für alle n erfüllt.

c.) Untersuchen Sie die Folge auf Schranken

Schreib die Folge etwas anders

an = (2·n + 1)/(3·n - 2) = 2/3 + 7/(9·n - 6)

Hier kann man jetzt sowohl die Monotonie als auch die Schranken besser erkennen.

e.) Ab dem wie vielten Folgeglied gilt: an<0,7?

Auch das sollt ihr sicherlich nicht mit einer Wertetabelle machen oder

Wenn ich jetzt Frage ab welchem n gilt an < 0.666666666666666666667

Schreibst du dann auch alle werte auf. Das kann man auch mathematisch machen.

(1 + 2·n)/(3·n - 2) < 0.7

auflösen nach n

n < 2/3 ∨ n > 24

n muss also > 24 sein.

Comments

<an>=<(2-5n)/(4n-3)>

Ab dem wievielten Folgeglied gilt: an > -1,27

R:

(2-5n)/(4n-3) < -1,27

2-5n<-1,27*(4n-3)

2-5n>-5,08+3,81

0,08n>1,81

n>22,625

AW: Ab dem 23 Folgeglied gilt für die Folge  an>-1,27.

Ps.: Danke für deine Tipps und Hilfen.

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Genau. Das geht eventuell Bedeutend schneller als über eine Wertetabelle.

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Ich möchte noch einmal zu c.) zurück kommen:

Habe ich Recht wenn ich sage die obere Schranke spielt sich im Zähler ab und die untere im Nenner ab?

an = (2·n + 1)/(3·n - 2) = 2/3 + 7/(9·n - 6) 

Das Umschreiben kann ich dann nachvollziehen wenn ich im Zähler für

n, die obere Schranke einsetze. Also (2*3+1=7) und dann noch die 2/3 weil die ja schon dastehen oder?

Im Nenner rechne ich dann (3*3-2=9-2) aber woher kommen die -6 dann.

Müsste es dann nicht heissen (3*(3-2), dass heisst es doch nicht oder?!

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Habe ich Recht wenn ich sage die obere Schranke spielt sich im Zähler ab und die untere im Nenner ab?

Nein. Schranken gelten für den wert des Bruches als ganzes. Die Beziehen sich nicht nur auf Zähler und Nenner.

an = (2·n + 1)/(3·n - 2) = 2/3 + 7/(9·n - 6)  

Das Umschreiben macht man ab geschicktesten mit der Polynomdivision.

Dabei kann dir das die Seite

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

an deinen eigenen Beispielen erklären. Du brauchst nur Zähler und Nenner dort eingeben.

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Bsp.: <(2-5n)/(4n-3)>

---> Polynomdivision auf Website durchgeführt.....

Es ergibt sich somit das folgende Ergebnis der Polynomdivision:

-5/4 - 7/(16n - 12)

Woher weiß ich jetzt das -5/4 meine untere Schranke ist?

Weil es der Erste Summand des Quotienten ist ?

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an = -5/4 - 7/(16n - 12) 

a1 = -3

-5/4 kann nicht die untere Schranke sein weil -3 sicher tiefer liegt. -5/4 ist hier die obere Schranke weil der Term - 7/(16n - 12) einen Grenzwert von 0 hat und damit als Grenzwert für n gegen unendlich nichts mehr subtrahiert wird von -5/4.