Berechnen Sie, wie lange die Epidemie dauert anhand der Prognosefunktion N(t) = (6t -t^2) * e^{t-6}

Question

Aufgabe:

Die jährliche Grippeepidemie hat gerade begonnen. Aus den ersten eingehenden Meldungen modellieren die Epidemiologen eine Prognosefunktion für die Entwicklung der Erkranktenzahlen.

N(t) = (6t -t²) * e^t-6 , (t größer gleich 0)

Berechnen Sie, wie lange die Epidemie dauern wird.

Ermitteln Sie, wann das Maximum erreicht wird und geben Sie die maximale Erkranktenanzahl an.

Geben Sie an, wann die Anzahl der Erkrankten am schnellsten zunimmt, bestimmen Sie die Anzahl und ermitteln Sie zu diesem Zeitpunkt die momentane Zunahmerate.

Problem:

Leider fehlt mir bei dieser Aufgabe komplett der Ansatz und ich bräuchte die Lösung leider relativ Zeitnah für meine Prüfung. Daher würde ich mich ziemlich freuen, wenn ihr mir hier etwas auf die Sprünge helfen könntet.

Comments

Es fehlt die hier eigentlich notwendige Information darüber, was t und N eigentlich angeben, also die Einheiten.

Answer 1

Berechne:

a) N(t) =0

b) N'(t)= 0

Ergebnis in N(t) einsetzen

c) N ''(t)=0

Setze den gefundenen Wert in N '(t) ein.

Answer 2

Berechnen Sie, wie lange die Epidemie dauern wird.

Nullstellen: N(t) = 0

(6t - t^2) * e^(t - 6) = 0

6t - t^2 = 0

t(6 - t) = 0

t₁ = 0, t₂ = 6

Ermitteln Sie, wann das Maximum erreicht wird und geben Sie die maximale Erkranktenanzahl an.

Extrema: N'(t) = 0

N'(t) = e^(t - 6) * (-t^2 + 4t + 6)

e^(t - 6) * (-t^2 + 4t + 6) = 0

t = 2 ± √10, (negative Lösung entfällt)

N''(t) ≠ 0

N''(t) = e^(t -6) * (-t^2 + 2t + 10)

N''(2 + √10) < 0 => Hochpunkt H(2+√10 | 1.87)

Maximale Erkranktenzahl bei t ≈ 5.2

Comments

Wow, super!

Könntest du mir auch noch bei der dritten Frage weiterhelfen?

Geben Sie an, wann die Anzahl der Erkrankten am schnellsten zunimmt, bestimmen Sie die Anzahl und ermitteln Sie zu diesem Zeitpunkt die momentane Zunahmerate.

---

Könnte mir noch jemand die genaue Herleitung der 1. und 2. Ableitung schicken? 
Ich habe nämlich selbst was anderes raus

Danke
Lulu

---

Hallo ∑lyesa,

Kleiner Fehlerhinweis
Die jährliche Grippeepidemie
dann kann die Grippeepidemie nicht
6 Jahre dauern.
Entweder ist das Zeitmaß Tage oder Wochen
oder Monate.

mfg Georg

---

Hallo georg,

Danke für den Hinweis, ich habe das Zeitmaß jetzt mal offen/unbestimmt gelassen.

---

Kann mir denn noch jemand sagen, wie hoch die Maximale Anzahl an Erkrankten ist?

Answer 3

Positive Nullst.der ersten Ableitung t_E=2+√11ist Stelle des Maximums.

Positive Nullst.der zweiten Ableitung t_W=1+√10 ist Stelle des stärksten Anstiegs.

Comments

Hi Roland, leider steig ich da nicht so richtig durch die Antwort durch. Könntest du mir das noch etwas ausführlicher erklären?

Answer 4

Wenn N(t) die Anzahl der Erkrankten ist, dann hat man die schnellste Zunahme der Anzahl an Erkrankten im Wendepunkt.

Mach dir im bereich Analysis möglichst oft einen Graphen, und versuche die Lösungen meist schon allein anhand des Graphen ungefähr zu bestimmen.

~plot~ (6x-x^2)*exp(x-6);0.8606*(x-4.317)+1.350;{4.317|1.350};[[-3|7|-1|2]] ~plot~

Answer 5

Ist wohl so:

N(t) = (6t -t^2) * e^(t-6)  und sieht so aus

~plot~  (6x -x^2) * exp(x-6)  ~plot~

Schnellste Zunahme im Wendepunkt, in dem es steigend ist.

Also mit f ' ' (t) = 0

<=> (-t^2 + 2t + 10 ) * e^(t-6) = 0

gibt  t = 1 ±√11   sinnvoll  aber nur bei  t = 1 +√11   ≈ 4,3 .

Nach etwa 4,3 Tagen die stärkste Zunahme mit einer

Rate von f ' (  1 +√11  ) ≈ 0,86

Comments

Das ist super, Danke dir!!

Answer 6

1.Ableitung
(6t - t2) * e^(t - 6)
Produktregel
u = 6t - t^2
u ´ = 6 - 2t
v = e^(t - 6)
v ´= e^(t - 6) * 1 = e^(t - 6)

u´+ v + u * v ´
( 6 - 2t ) * e^(t - 6)  +   ( 6t - t^2 ) * e^(t - 6)
e^(t - 6) * [   6 - 2t + 6t  - t^2  ]
e^(t - 6) * [  6 + 4t  - t^2  ]

Bei Bedarf nachfragen bis die Aufgabe komplett
geklärt ist.

Comments

Das ist super! 

Wie wäre dazu denn die 2. Ableitung und wie komme ich auf das Ergebnis für t?

Danke nochmal!

---

N ´( t ) =  ( 6 + 4t  - t^2 ) * e^(t - 6)

u = 6 + 4t - t^2
u ´ = 4 - 2t
v = e^(t - 6)
v ´= e^(t - 6) * 1 = e^(t - 6)

u´+ v + u * v ´
( 4 - 2t ) * e^(t - 6)  + ( 6 + 4t  - t^2 ) * e^(t - 6)
e^(t - 6) * ( 4 - 2t + 6 + 4t - t^2 )
N ´´( t ) = e^(t - 6) * ( 10 + 2t - t^2 )

Kann mir denn noch jemand sagen, wie hoch die Maximale Anzahl an Erkrankten ist?
Steht oben bei Elyesa
Maximale Erkranktenzahl bei t = 5.16
N ( 5.16 ) = 1.87

---

Danke, Danke, :)

Könntest du mir noch eine letzte Frage beantworten?

Für die Ausgangsfunktion: N(t) = (6t -t²) * e^(t-6)

Geben Sie an, wann die Anzahl der Erkrankten am schnellsten zunimmt, bestimmen Sie die Anzahl und ermitteln Sie die zu diesem Zeitpunkt momentane Zunahmerate.

---

Nein.
Die Frage wurde vom Mathecoach und mathef
bereits beantwortet.