Gradienten berechnen & kritische Stellen anhand der Lagrange-Multiplikator-Bedingung finden

Question

Aufgabe:

(Optimierung)

Wir betrachten \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto 3 x y-4 x \) und \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto y^{3}-x \)
(a) Berechnen Sie die Gradienten von \( f \) und \( g \).
(b) Skizzieren Sie \( M=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid g\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=0, x \in[-1,8]\right\} \) und die Nullstellenmenge von \( f \)
(c) Finden Sie die kritischen Stellen von \( f \) auf \( M, \) d.h. die Punkte \( \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in M, \) die die Lagrange-Multiplikator-Bedingung erfüllen.
(d) Finden Sie das Minimum und das Maximum von \( f \) auf \( M \)

Problem/Ansatz:

Hallo Mathelounge-Community,

komme bei dieser Hausübung nicht weiter und würde es begrüßen, wenn mir jemand helfen könnte.

,

Mathekoala

Comments

Kannst Du die Gradienten nicht ausrechnen?

Answer 1

Hallo,

bei was genau kommst Du nicht weiter? Das Ableiten sollte doch keine Problem sein:$$\text{grad}\, f = \begin{pmatrix} 3y-4\\3x \end{pmatrix} \\ \text{grad}\, g = \begin{pmatrix} -1\\3y^2 \end{pmatrix} $$ zu (b) forme \(g(x,y) = y^3-x = 0\) nach \(y\) um und gebe es im Plotlux-Plotter ein:

~plot~ x^(1/3);-(-x)^(1/3);[[-2|9|-3|4]] ~plot~

die Nullstellenmenge von \(f\) ist die Menge aller Paare \((x,y)\) für die \(f(x,y) = 0\). Da $$\begin{aligned} f(x,y) &= 3xy - 4x \\ &= x(3y - 4) \end{aligned}$$ ist das der Fall, wenn entweder \(x=0\) oder \(y= 4/3\) ist:

~plot~ x^(1/3);-(-x)^(1/3);[[-2|9|-3|4]];x=0;4/3 ~plot~

oben als grüne und lilafarbende Gerade eingezeichnet.

zu (c): die zu maximierende Funktion ist \(f\) mit der Nebenbedingung \(g=0\). Gibt die Lagrange-Funktion nebst Ableitungen:$$\begin{aligned} L(x,y,\lambda)  &= 3xy - 4x + \lambda (y^3-x) \\ \text{grad}\, L &=  \begin{pmatrix} 3y-4\\3x \end{pmatrix} + \lambda  \begin{pmatrix} -1\\3y^2 \end{pmatrix} \to 0 \\ \implies \lambda &= 3y - 4 \\ 0&= 3x + (3y-4) \cdot 3y^2 \\ x &= (4-3y)y^2\\\end{aligned}$$Einsetzen in die Nebenbedingung \(g(x,y)=0\):$$\begin{aligned} y^3 - x &= 0 \\ y^3 - (4-3y)y^2 &= 0 \\  4(y-1) y^2 &=0 \end{aligned}$$führt dann zu den kritischen Punkten \((x=0;\, y=0)\) und \((x=1;\, y = 1)\).

zu (d): bevor man jetzt mit der Hessematrix kommt reicht auch ein Blick auf die Funktion. \(f(1,1)\) ist ein lokales Minimum und \(f(0,0)\) (jeweils bei \(g=0\)) ist ein Sattelpunkt.

Das wird klarer, wenn man sich die Höhenlinien ansieht. Ich habe im nächsten Plot die Höhenlinie für \(f=-1\) eingezeichnet (gelb):

~plot~ x^(1/3);-(-x)^(1/3);[[-2|9|-3|4]];x=0;4/3;(-1+4x)/(3x);{1|1} ~plot~

man sieht, dass die gelbe Höhenlinie, die blaue Kurve \(g=0\) in \((1;\,1)\) berührt. Hier liegt ein Extremum vor. Da \(f\) an dieser Stelle nach links oben ansteigt, ist es ein Minimum.

Die grüne Gerade \(x=0\) ist die Höhenlinie für \(f=0\) (s.o. bei (b)). Sie verläuft in \((0;\,0)\) parallel zu \(g=0\) und \(g=0\) 'überquert' die Höhenlinie. Daher ist dass hier nur ein Sattelpunkt.