Begründen Sie, dass xn+1 = (1/2)(xn + 2/ xn), und machen Sie geometrisch plausibel, dass lim n→∞ xn = √2.

Question

Aufgabe:

Mit dem sogenannten Heron-Verfahren definiert man eine Folge reeller Zahlen, die gegen√2 konvergiert. Die geometrische Idee dabei ist, eine Folge von Rechtecken mit Flächeninhalt 2 zu konstruieren, deren Seitenlängen sich immer mehr einander annähern. Das erste Rechteck habe die Breite x₁ := 2 (und damit die Höhe 1). Als Breite x_n+1 des (n + 1)-ten Rechtecks wird nun für alle n ∈N der Mittelwert von Breite und Höhe des n-ten Rechtecks gewählt.

 Begründen Sie, dass x_n+1 = (1/2)(x_n + 2/ xn), und machen Sie geometrisch plausibel, dass lim n→∞ x_n = √2.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo lavi, 

hier findest du sowohl eine rechnerische Herleitung (bei dir a=2):

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Verfahren

als auch eine geometrische Veranschaulichung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Geometrische_Veranschaulichung_des_Heron-Verfahrens

Gruß Wolfgang