Inhomogene Dgl 2. Ordnung

Question

Aufgabe:

\begin{array}{l}{\text { Gegeben sei die Differentialgleichung }} \\ {\qquad \ddot{x}+16 x=8 \cos (4 t)+16 \sin (2 t)} \\ {\text { a) Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung an; }} \\ {\text { b) Man berechne die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung; }}\end{array}

Problem/Ansatz:

a) habe ich soweit mit y=C1*sin(4x)+C2*cos(4x).

Bei b) bin ich für 16sin(2t) auf y_p1=A*sin(2t)+B*cos(2t) mit y_p1'=2Acos(2t)-2Bsin(2t) und y_p1''=-4Asin(2t)-4Bcos(2t) gekommen.

Für 8cos(4t) habe ich y_p2=C*x*sin(4t+φ), y_p2'=4Cxcos(4t+φ) und y_p2''=-16Cxsin(4t+φ).

Eingesetzt in x''+16x=8cos(4t)+16sin(2t) also

-4Asin(2t)+-4Bcos(2t)-16Cxsin(4t+φ)+16(Cxsin(4t+φ)+Asin(2t)+Bcos(2t)=16sin(2t)+8cos(4t)

12Asin(2t)+12Bcos(2t)=16sin(2t)+8cos(4t)

durch Koeffizientenvergleich 12A=16 A=\( \frac{4}{3} \)

Nur bei 12Bcos(2t)=8cos(4t) weiß ich nicht weiter, danke für die Hilfe!

Answer 1

zu a)

x_h=C₁ cos(4t) +C₂ sin(4t)

x_p=A cos(2t) +B*t cos(4t)+C sin(2t) +D*t sin(4t)

Answer 2

Hallo

 der Ansatz mit A*sin(2t)+B*cos(2t) st nur für den Term 16sin(2t) zuständig.  also B=0 ,für den cos Term besser nicht mit xsin(4t+φ) arbeiten sondern mit yp=C*x*sin(4t)+D*x*cos(4t)

 entweder mit der Summe der 2 partikulären Lösungen arbeiten oder die 2 Ansätze getrennt machen einmal nur die inhomogene   mit 16*sin(2t) danach mur die mit 8*cos(4t) dann die 2 Lösungen addieren.

Gruß lul