Es sei f : V → W eine lineare Abbildung, wobei V endlichdimensional ist, und U ein Unterraum von W.

Question

Aufgabe:

Es sei f : V → W eine lineare Abbildung, wobei V endlichdimensional ist, und U ein Unterraum von W. Zeigen Sie, dass

 dim f^−1 (U) = dim(U ∩ Im f) + dim Ker f.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Es ist   X :=  f^−1 (U) ein Unterraum von V.

Und die Einschränkung  f1 von f auf X ist  eine lineare Abbildung von X

nach W  also f1 : X → W

   Die Bildmenge dieser Abbildung f1 ist Im(f) ∩ U .

Also Im(f1)= Im(f) ∩ U .

Und weil U als Unterraum ja die 0 von W enthalten muss,

ist der Kern von f1  gleich dem Kern von f.

Nach dem Dimensionssatz gilt dann

dim (X) =  dim(Im(f1)) + dim(kern(f1)) , also

dim ( f^−1 (U) ) = dim( Im(f) ∩ U )  + dim(Kern(f)) .