a) erscheint mir ja nicht so schwierig:
Du musst zeigen, dass die gegebenen Folgen jeweils lin. unabh. sind und den
jeweiligen Raum erzeugen.
Bei der ersten etwa so: Sei al+1*(vl+1 +U)+...+an*(vn +U) = 0V/U #
mit al+1,...,an aus K (oder ℝ oder wie immer der zu dem VR gehörige
Körper heißen soll.)
Weil die Operationen für der Klassen ja über geeignete Vertreter
definiert sind und die 0-Klasse aus den Elementen von U besteht gilt;
Dann gibt es ul+1 , …. un aus U mit und ein u∈U
al+1*(vl+1 +ul+1)+...+an*(vn +un) = u
<=> al+1*vl+1 +al+1*ul+1+...+an*vn +an*un = u
<=> (al+1*ul+1+....+an*un-u) + al+1*vl+1 +...+an*vn = 0
Der Term in der Klammer ist ja, weil U ein Unterraum ist,
jedenfalls aus U kann also durch die gegebene Basis von U
mit irgendwelchen a1,...,al aus K dargestellt werden und es entsteht
(a1*u1+....+al*ul) + al+1*vl+1 +...+an*vn = 0
und wegen der lin.Unabhängigkeit der u1,...,un
(Ist ja ne Basis.) gilt also a1=a2=…=an=0
Also insbesondere al+1=…=an = 0 .
Also sind die in # benutzten Klassen lin. unabhängig in V/U.
Erzeugen tun sie den Raum auch; denn sei X eine Klasse aus V/U
dann gibt es ein v∈V so dass X = v+U. Bleibt zu zeigen, dass jeder
Vertreter dieser Klasse durch die gegebene Folge (vl+1 +U,...,vn +U)
mit geeigneten al+1,...,an dargestellt werden kann. Sei also x so ein Vertreter
dann gibt es u aus U mit x = v+u
Das v lässt sich darstellen als b1*v1+...+bl*vl+bl+1*vl+1+...+bn*vn =v
und das u mit der Basis von U, also so c1*u1+...+cl*ul=u
also v+u= (b1+c1)*v1+...(bl+cl)*vl + bl+1*vl+1+...+bn*vn
Die ersten l Summanden dieser Summe sind alle aus U also
ist deren Summe ein u1 aus U. Die folgenden Summanden alle nicht
aus U sondern jeder aus der entsprechenden Klasse vj+U.
Also ist so v+u durch je einen Vertreter der Klassen
vl+1 +U,...,vn +U dargestellt. q.e.d.