Es seien V und W Vektorräume mit Unterräumen U ⊆ V und T ⊆ W.

Question

Aufgabe:

 Es seien V und W Vektorräume mit Unterräumen U ⊆ V und T ⊆ W. Weiter sei (v1,...,vn) eine Basis von V und (w1,...,wm) eine Basis von W, so dass (v1,...,vl) eine Basis von U und (w1,...,wk) eine Basis von T ist.

Beweisen Sie folgende Aussagen.

(a) Die Folge (vl+1 +U,...,vn +U) ist eine Basis von V/U, und die Folge (wk+1 + T,...,wm + T) ist eine Basis von W/T.

 (b) Eine lineare Abbildung f : V → W bildet genau dann den Unterraum U in den Unterraum T ab, wenn ihre Abbildungsmatrix bezüglich der obigen Basen die Form ( A           B

                                                                                           0m−k,l   D)   hat.

(c) In diesem Fall ist A die Abbildungsmatrix der Einschränkung von f auf U mit dem Zielbereich T, und D ist die Abbildungsmatrix der durch g(v + U) = f(v) + T definierten linearen Abbildung g : V/U → W/T.

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) erscheint mir ja nicht so schwierig:

Du musst zeigen, dass die gegebenen Folgen jeweils lin. unabh. sind und den

jeweiligen Raum erzeugen.

Bei der ersten etwa so:   Sei a_l+1*(v_l+1 +U)+...+a_n*(v_n +U) = 0_V/U   #

mit a_l+1,...,a_n aus K (oder ℝ oder wie immer der zu dem VR gehörige

Körper heißen soll.)

Weil die Operationen für  der Klassen ja über geeignete Vertreter

definiert sind und die 0-Klasse aus den Elementen von U besteht gilt;

Dann gibt es u_l+1 , …. u_n aus U mit und ein u∈U

                          a_l+1*(v_l+1 +u_l+1)+...+a_n*(v_n +u_n) = u

<=>  a_l+1*v_l+1 +a_l+1*u_l+1+...+a_n*vn +a_n*u_n = u

<=> (a_l+1*u_l+1+....+a_n*u_n-u) + a_l+1*v_l+1 +...+a_n*v_n  = 0

Der Term in der Klammer ist ja, weil U ein Unterraum ist,

jedenfalls aus U kann also durch die gegebene Basis von U

mit irgendwelchen a₁,...,a_l aus K dargestellt werden und es entsteht

(a₁*u₁+....+a_l*u_l) + al+1*vl+1 +...+an*vn  = 0

und wegen der lin.Unabhängigkeit der u1,...,un

(Ist ja ne Basis.) gilt also a1=a2=…=an=0

Also insbesondere a_l+1=…=a_n = 0  .

Also sind die in # benutzten Klassen lin. unabhängig in V/U.

Erzeugen tun sie den Raum auch; denn sei X eine Klasse aus V/U

dann gibt es ein v∈V  so dass X = v+U.  Bleibt zu zeigen, dass jeder

Vertreter dieser Klasse durch die gegebene Folge  (vl+1 +U,...,vn +U)

mit geeigneten a_l+1,...,an dargestellt werden kann. Sei also x so ein Vertreter

dann gibt es u aus U mit x = v+u

Das v lässt sich darstellen als b1*v1+...+bl*vl+b_l+1*v_l+1+...+bn*vn =v

und das u mit der Basis von U, also so c1*u1+...+cl*ul=u

also v+u=  (b1+c1)*v1+...(bl+cl)*vl   + bl+1*vl+1+...+bn*vn

Die ersten l Summanden dieser Summe sind alle aus U also

ist deren Summe ein u1 aus U.  Die folgenden Summanden alle nicht

aus U sondern jeder aus der entsprechenden Klasse vj+U.

Also ist so  v+u durch je einen Vertreter der Klassen

vl+1 +U,...,vn +U  dargestellt.  q.e.d.