Lösen der Ungleichung 2x^3+1-1/x^3 > 0

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Ungleichung 2x^3+1-1/x^3 > 0

Problem/Ansatz:

Wie geht man da am besten vor? Erst x auf die andere Seite bringen dann auflösen??

Answer 1

Löse zunächst die Gleichung

2·x^3 + 1 - 1/x^3 = 0 mit x ≠ 0

2·x^6 + 1·x^3 - 1 = 0

z = x^3

2·z^2 + 1·z - 1 = 0 --> z = 1/2 ∨ z = -1

x = ³√0.5 = 0.7937

x = ³√-1 = -1

Prüfe jetzt  in welchem Intervall der Term > 0 ist

-1 < x < 0 oder x > ³√0.5

Comments

Aber warum muss ich zunächst die eine Gleichung gleich 0 setzen, wenn ich doch eine Ungleichung lösen möchte?

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Damit verschiebst du die Fallunterscheidung nach hinten.

An den Stellen wo f(x) = 0 wird sowie an Definitionslücken kann sich das Vorzeichen ja ändern.

Du könntest natürlich auch gleich eine Fallunterscheidung machen für x > 0 und x < 0. Das ist allerdings aufwendiger.

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Alles klar verstanden danke!!

Answer 2

Multipliziere mit x³ (Fallunterscheidung positiv/negativ), substituiere x³=z, löse die entstehenden quadratische Ungleichung für z und mache die Substitution rückgängig.

Comments

Okay also wäre das dann

2x^6+x^3-1>0 | Substitution mit z = x^3

2z^2+z-1 > 0

Wie geht es dann Weiter?? PQ Formel? Falls ja warum?